Giả sử ta có 2 tập $\mathrm{A,B}$ có lần lượt $\mathrm{n,m}$ phần tử sao cho $\mathrm{A \cap B=\varnothing}$
Để lấy $\mathrm k$ phần tử trong cả tập $\mathrm {A\&B}$ ta có $\mathrm{C_{n+m}^k}$ cách
Mặt khác, ta có thể :
lấy $\mathrm {k}$ phần tử trong tập $\mathrm A$, $\mathrm 0$ phần tử trong tập $\mathrm B$ có $\mathrm{C_n^k.C_m^0}$ cách
hoặc lấy $\mathrm {k-1}$ phần tử trong tập $\mathrm A$, $\mathrm 1$ phần tử trong tập $\mathrm B$ có $\mathrm{C_n^{k-1}.C_m^1}$ cách
hoặc lấy $\mathrm {k-2}$ phần tử trong tập $\mathrm A$, $\mathrm 2$ phần tử trong tập $\mathrm B$ có $\mathrm{C_n^{k-2}.C_m^2}$ cách
$...$
hoặc lấy $\mathrm {k-m}$ phần tử trong tập $\mathrm A$, $\mathrm m$ phần tử trong tập $\mathrm B$ có $\mathrm{C_n^{k-m}.C_m^m}$ cách
Theo quy tắc cộng thì suy ra dpcm