Toán 8

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc=1. CMR: \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3 + \frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3} + \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \leq \frac{1}{2}

Bất đẳng thức

Toán 8

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $abc=1$. CMR: $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3} + \frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3} + \frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \leq \frac{1}{2}$

Bất đẳng thức

$A=(a+b+c)^2-(4ab+8bc+6ca)=9-(4ab+8bc+6ca)$Ta có :$4ab+8bc+6ca=a(b+c)+3b(a+c)+5c(b+a)$$=a(3-a)+3b(3-b)+5c(3-c)$$=\frac{81}4- \left[ \left(a-\frac 32 \right)^2+3\left(b-\frac 32 \right)^2+5\left(c-\frac 32 \right)^2 \right]$$=\frac{81}4-\left[ \frac{\left( a- \dfrac{3}{2} \right)^2}1+ \frac{\left( b- \dfrac{3}{2} \right)^2}{\dfrac 13}+\frac{\left( c- \dfrac{3}{2} \right)^2}{\dfrac 15}\right]$$\le \frac{81}4-\frac{\left( a+b+c-\dfrac 32-\dfrac 32-\dfrac 32\right)^2}{1+\dfrac 13 + \dfrac 15}=\frac{432}{23}$Nên $A \ge 9-\frac{432}{23}=-\frac{225}{23}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{13}{23},b=\frac{27}{23},c=\frac{30}{23}$

$A=(a+b+c)^2-(4ab+8bc+6ca)=9-(4ab+8bc+6ca)$Ta có :$4ab+8bc+6ca=a(b+c)+3b(a+c)+5c(b+a)$$=a(3-a)+3b(3-b)+5c(3-c)$$=\frac{81}4- \left[ \left(a-\frac 32 \right)^2+3\left(b-\frac 32 \right)^2+5\left(c-\frac 32 \right)^2 \right]$$=\frac{81}4-\left[ \frac{\left( a- \dfrac{3}{2} \right)^2}1+ \frac{\left( b- \dfrac{3}{2} \right)^2}{\dfrac 13}+\frac{\left( c- \dfrac{3}{2} \right)^2}{\dfrac 15}\right]$$\le \frac{81}4-\frac{\left( a+b+c-\dfrac 32-\dfrac 32-\dfrac 32\right)^2}{1+\dfrac 13 + \dfrac 15}=\frac{432}{23}$Nên $A \ge 9-\frac{432}{23}=-\frac{225}{23}$Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{12}{23},b=\frac{27}{23},c=\frac{30}{23}$

Giải giùm mình bài này với

$\sqrt{\frac{x-1}{x}}$=$2\sqrt{x+1}+2$

Phương trình vô tỉ

Giải giùm mình bài này với

$\sqrt{\frac{x-1}{x}}=2\sqrt{x+1}+2$

Phương trình vô tỉ

giúp

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $ a^2+9b^2+9c^2=16$tính GTNN $Q=9ab+6bc+9ac$

GTLN, GTNN

giúp

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $ a^2+9b^2+9c^2=16$tính GTLN $Q=9ab+6bc+9ac$

GTLN, GTNN

Can you give me your hand? :((

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x^2+4y^2}{xy}=4\sqrt{(\frac{2}{y}-\frac{3}{x})(x+y)}-1\\ \sqrt{(x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}\end{array} \right.$

Hệ phương trình

Can you give me your hand? :((

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2x^2+4y^2}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1\\ \sqrt{(x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}\end{array} \right.$

Hệ phương trình

Từ đề bài ta có $\begin{cases}x^2=\dfrac{32-z^2}{3} \\ y^2=4-\dfrac{z^2}{4} \end{cases}$Và $16=4y^2+z^2 \ge 4z^2+z^2\Leftrightarrow z^2 \le \frac{16}5$~~~~~~~~~~~$2P=2.\frac{x}{\sqrt[4]{3}}.(\sqrt[4]{3}y)+2.\frac{x}{\sqrt[4]{3}}.(\sqrt[4]{3}z)+2yz$$\le \frac{x^2}{\sqrt 3}+\sqrt3 y^2+\frac{x^2}{\sqrt 3}+\sqrt 3z^2+y^2+z^2$$=\frac{2\sqrt3x^2}{3}+(y^2+z^2)(\sqrt 3+1)$$=\frac{2\sqrt 3}{3} \left( \frac{32-z^2}{3} \right)+\left(4- \frac{z^2}{4}+z^2 \right)(\sqrt 3+1)$$=\frac{64\sqrt 3}{3}-\frac{2\sqrt 3z^2}{9}+z^2\left(\frac{3\sqrt 3+3}{4} \right)+4(\sqrt 3+1)$$=z^2 \left( \frac{27+19\sqrt 3}{36} \right)+\frac{100\sqrt 3+36}{9} \le \frac{16}5 \left( \frac{27+19\sqrt 3}{36} \right)+\frac{100\sqrt 3+36}{9}=\frac{32+64\sqrt3}{5}$~~~~~Vậy $\min P=\frac{16+32\sqrt3}{5}$ khi $x=\frac{4\sqrt{15}}{5},y=z=\frac{4\sqrt5}{5}$

Từ đề bài ta có $\begin{cases}x^2=\dfrac{32-z^2}{3} \\ y^2=4-\dfrac{z^2}{4} \end{cases}$Và $16=4y^2+z^2 \ge 4z^2+z^2\Leftrightarrow z^2 \le \frac{16}5$~~~~~~~~~~~$2P=2.\frac{x}{\sqrt[4]{3}}.(\sqrt[4]{3}y)+2.\frac{x}{\sqrt[4]{3}}.(\sqrt[4]{3}z)+2yz$$\le \frac{x^2}{\sqrt 3}+\sqrt3 y^2+\frac{x^2}{\sqrt 3}+\sqrt 3z^2+y^2+z^2$$=\frac{2\sqrt3x^2}{3}+(y^2+z^2)(\sqrt 3+1)$$=\frac{2\sqrt 3}{3} \left( \frac{32-z^2}{3} \right)+\left(4- \frac{z^2}{4}+z^2 \right)(\sqrt 3+1)$$=\frac{64\sqrt 3}{3}-\frac{2\sqrt 3z^2}{9}+z^2\left(\frac{3\sqrt 3+3}{4} \right)+4(\sqrt 3+1)$$=z^2 \left( \frac{27+19\sqrt 3}{36} \right)+\frac{100\sqrt 3+36}{9} \le \frac{16}5 \left( \frac{27+19\sqrt 3}{36} \right)+\frac{100\sqrt 3+36}{9}=\frac{32+64\sqrt3}{5}$~~~~~Vậy $\max P=\frac{16+32\sqrt3}{5}$ khi $x=\frac{4\sqrt{15}}{5},y=z=\frac{4\sqrt5}{5}$

$\frac 1{\sin^aA} \ge \frac{1}{\sin A}\Leftrightarrow \sin^{a-1}A \le 1$ (luôn đúng)Ttự $\Rightarrow \frac 1{\sin^aA}+\frac 1{\sin^bB}+\frac 1{\sin^cC} \ge \frac{1}{\sin A}+\frac 1{\sin B} +\frac 1{\sin C} (\star)$$\frac{1}{\sin A}+\frac 1{\sin B} +\frac 1{\sin C} \ge \frac 1{\cos \frac A2}+\frac 1{\cos \frac B2}+\frac 1{\cos \frac B2} (\star \star )$ $ \frac 1{\cos \frac A2} \ge\frac 1{\sqrt[x]{\cos \frac A2}} \Leftrightarrow \cos^{x-1}\frac A2 \le 1$ (luôn đúng)Ttự $\Rightarrow \frac 1{\cos \frac A2}+\frac 1{\cos \frac B2}+\frac 1{\cos \frac C2} \ge \frac 1{\sqrt[x]{\cos \frac A2}}+\frac 1{\sqrt[y]{\cos \frac B2}}+\frac 1{\sqrt[z]{\cos \frac C2}} (\star \star \star)$~~~~~~~~~~Từ $(\star),(\star \star),(\star \star \star)$$\Rightarrow \frac 1{\sin^aA}+\frac 1{\sin^bB}+\frac 1{\sin^cC} \ge \frac 1{\sqrt[x]{\cos \frac A2}}+\frac 1{\sqrt[y]{\cos \frac B2}}+\frac 1{\sqrt[z]{\cos \frac C2}}$Kết hợp dữ kiện đề bài suy ra dấu bằng xảy raTức là $\begin{cases}x=y=z=1 \\a=b=c=1\\ \triangle ABC \quad \text{đều} \end{cases}$$\Rightarrow h_a=h_b=h_c,l_a=l_b=l_c$$\Rightarrow$ đpcm

$\frac 1{\sin^aA} \ge \frac{1}{\sin A}\Leftrightarrow \sin^{a-1}A \le 1$ (luôn đúng)Ttự $\Rightarrow \frac 1{\sin^aA}+\frac 1{\sin^bB}+\frac 1{\sin^cC} \ge \frac{1}{\sin A}+\frac 1{\sin B} +\frac 1{\sin C} (\star)$$\color{blue}{\frac{1}{\sin A}+\frac 1{\sin B} +\frac 1{\sin C} \ge \frac 1{\cos \frac A2}+\frac 1{\cos \frac B2}+\frac 1{\cos \frac B2} (\star \star )}$ $ \frac 1{\cos \frac A2} \ge\frac 1{\sqrt[x]{\cos \frac A2}} \Leftrightarrow \cos^{x-1}\frac A2 \le 1$ (luôn đúng)Ttự $\Rightarrow \frac 1{\cos \frac A2}+\frac 1{\cos \frac B2}+\frac 1{\cos \frac C2} \ge \frac 1{\sqrt[x]{\cos \frac A2}}+\frac 1{\sqrt[y]{\cos \frac B2}}+\frac 1{\sqrt[z]{\cos \frac C2}} (\star \star \star)$~~~~~~~~~~Từ $(\star),(\star \star),(\star \star \star)$$\Rightarrow \frac 1{\sin^aA}+\frac 1{\sin^bB}+\frac 1{\sin^cC} \ge \frac 1{\sqrt[x]{\cos \frac A2}}+\frac 1{\sqrt[y]{\cos \frac B2}}+\frac 1{\sqrt[z]{\cos \frac C2}}$Kết hợp dữ kiện đề bài suy ra dấu bằng xảy raTức là $\begin{cases}x=y=z=1 \\a=b=c=1\\ \triangle ABC \quad \text{đều} \end{cases}$$\Rightarrow h_a=h_b=h_c,l_a=l_b=l_c$$\Rightarrow$ đpcm

thánh bđt vào đây giúp vs

Cho $a,b,c,d$ dương. Chứng minh:$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}$

GTLN, GTNN

Cho $a,b,c,d$ dương. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}$

GTLN, GTNN

giup mk nha mn. Thank tc :)

cho x;y thoả mãn $x^{2}$+$y^{2}$=1tìm MAX của P=$\sqrt{(5+4y-4x^{2})(1-y)}$ . ($\sqrt{2-2y}$ + $\sqrt{2-x\sqrt{3}+y}$ +$\sqrt{2+x\sqrt{3}+y}$)

Cực trị của hàm số

giup mk nha mn. Thank tc :)

cho x;y thoả mãn $x^{2}+y^{2}=1$tìm MAX của P=$\sqrt{(5+4y-4x^{2})(1-y)} .\left(\sqrt{2-2y} + \sqrt{2-x\sqrt{3}+y} +\sqrt{2+x\sqrt{3}+y}\right)$

Cực trị của hàm số

giải pt vô tỷ

làm ơn giải giúp pt này theo pp hàm sốcăn bậc 3 (2x+1)-1=x^3+3x^2+2x *trong căn chỉ có 2x+1

Phương trình vô tỉ

giải pt vô tỷ

làm ơn giải giúp pt này theo pp hàm số$\sqrt[3]{2x+1}-1=x^3+3x^2+2x $

Phương trình vô tỉ

Cách 3:Đặt $\begin{cases}x=3a+b+c \\ y=3b+a+c \end{cases}$ và $z=3c+b+a$$\Rightarrow x+y+z=5(a+b+c)=5(x-2a)=5(y-2b)=5(z-2c)$$\Rightarrow \begin{cases}4x-(y+z)=10a \\ 4y-(x+z)=10b \end{cases}$và: $4z-(y+x)=10c$$\Rightarrow 10T=\Sigma \frac{4x-(y+z)}{x}=12-(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z})$Theo Cauchy $\Rightarrow 10T\leq 12-6=6$$\Rightarrow T\leq \frac{3}{5}$Đăngt thức xảy ra khi $a=b=c./$

Cách 3:Đặt $\begin{cases}x=3a+b+c \\ y=3b+a+c \\ z=3c+b+a\end{cases}$$\Rightarrow x+y+z=5(a+b+c)=5(x-2a)=5(y-2b)=5(z-2c)$$\Rightarrow \begin{cases}4x-(y+z)=10a \\ 4y-(x+z)=10b \\ 4z-(y+x)=10c \end{cases}$$\Rightarrow 10T=\sum \frac{4x-(y+z)}{x}=12-(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z})$Theo Cauchy $\Rightarrow 10T\leq 12-6=6$$\Rightarrow T\leq \frac{3}{5}$Đăngt thức xảy ra khi $a=b=c./$

:D

C/m: $\forall n\in Z+ $ thì $n+\left[ {} \right.\sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}+\frac{1}{3}\left[ {} \right.^2$ ko biểu diễn dưới dạng lập phg của 1 số nguyên.

Số nguyên

:D

C/m: $\forall n\in Z^+ $ thì $n+\left[ \sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}+\frac{1}{3} \right]^2$ ko biểu diễn dưới dạng lập phương của 1 số nguyên.

Số nguyên

bđt trên tương đương : $\frac ab+ \frac ba +\frac bc +\frac cb+\frac ac + \frac ca \le 7$Xem phần tiếp theo tại đây;

bđt trên tương đương : $\frac ab+ \frac ba +\frac bc +\frac cb+\frac ac + \frac ca \le 7$Bạn giả sử $a \le b \le c$ xem phần tiếp theo tại đây.

Ta có $x=y=0$ là nghiệm của hệXét $x \ne0,y \ne0$$pt(2)\Leftrightarrow \frac{x^2-4x-4}{x\sqrt{x+1}}=\frac{y^4+4y^3-8y+4}{(y^2+2y)(y+1)}$$\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2-6(x+1)+1}{\sqrt{x+1}^3-\sqrt{x+1}}=\frac{(y+1)^4-6(y+1)+1}{(y+1)^3-(y+1)}$$\Leftrightarrow f(\sqrt{x+1})=f(y+1)$ với $f(t)=\frac{t^4-6t+1}{t^3-t}$Tới đây ko biết xét hàm $f(t)$ :v ai giúp

Ta có $x=y=0$ là nghiệm của hệXét $x \ne0,y \ne0$$pt(2)\Leftrightarrow \frac{x^2-4x-4}{x\sqrt{x+1}}=\frac{y^4+4y^3-8y+4}{(y^2+2y)(y+1)}$$\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2-6(x+1)+1}{\sqrt{x+1}^3-\sqrt{x+1}}=\frac{(y+1)^4-6(y+1)^2+1}{(y+1)^3-(y+1)}$$\Leftrightarrow f(\sqrt{x+1})=f(y+1)$ với $f(t)=\frac{t^4-6t^2+1}{t^3-t}$Tới đây ko biết xét hàm $f(t)$ :v ai giúp

Ta có $x=y=0$ là nghiệm của hệXét $x \ne0,y \ne0$$pt(2)\Leftrightarrow \frac{x^2-4x-4}{x\sqrt{x+1}}=\frac{y^4+4y^3-8y+4}{(y^2+2y)(y+1)}$$\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2-6(x+1)+1}{\sqrt{x+1}^3-\sqrt{x+1}}=\frac{(y+1)^4-6(y+1)+1}{(y+1)^3-(y+1)}$$\Leftrightarrow f(\sqrt{x+1})=f(y+1)$ với $f(t)$Tới đây ko biết xét hàm $f(t)$ :v ai giúp

Ta có $x=y=0$ là nghiệm của hệXét $x \ne0,y \ne0$$pt(2)\Leftrightarrow \frac{x^2-4x-4}{x\sqrt{x+1}}=\frac{y^4+4y^3-8y+4}{(y^2+2y)(y+1)}$$\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2-6(x+1)+1}{\sqrt{x+1}^3-\sqrt{x+1}}=\frac{(y+1)^4-6(y+1)+1}{(y+1)^3-(y+1)}$$\Leftrightarrow f(\sqrt{x+1})=f(y+1)$ với $f(t)=\frac{t^4-6t+1}{t^3-t}$Tới đây ko biết xét hàm $f(t)$ :v ai giúp