Đk $x \ge \frac{1}{2}$$pt\Leftrightarrow x^3-2x+1=2(\sqrt[3]{2x-1}-x)$$\Leftrightarrow x^3-2x+1=2[\frac{2x-1-x^3}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1}]=0$$\Leftrightarrow (x^3-2x+1)(\color{red}{1+\frac{2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1}})=0$Dễ thấy biểu thức màu đỏ $<0\Rightarrow x^3-2x+1=0\Rightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0$kết hợp đk $\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{\sqrt5-1}{2}$

$pt\Leftrightarrow x^3-2x+1=2(\sqrt[3]{2x-1}-x)$$\Leftrightarrow x^3-2x+1=2[\frac{2x-1-x^3}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1}]$$\Leftrightarrow (x^3-2x+1)(\color{red}{1+\frac{2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1}})=0$Dễ thấy biểu thức màu đỏ $<0\Rightarrow x^3-2x+1=0\Rightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0$$\Rightarrow x=1,x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$

giúp tôi với

x^{3}+1=2 căn bậc3 (2x-1)

Phương trình vô tỉ

giúp tôi với

$x^{3}+1=2 \sqrt[3]{2x-1}$

Phương trình vô tỉ

$x^2+2001x-2002x-2002.2001=x(x+2001)-2002(x+2001)=(x-2002)(x+2001)$

$x^2+2002x-2001x-2002.2001=x(x+2002)-2001(x+2002)=(x-2001)(x+2002)$

giúp 1 tí nhá mấy anh

bài 1:tìm $GTLN$ của tổng $x+y+z$ biết $x+5y=21,2x+3z=51,x,y,z\geqslant 0$bài 2:tìm $GTNN$ của $\frac{x^2+15x+16}{3x}$ với $x>0$bài 3:giả sử $x,y,z$ thỏa mãn$ x.y.z=1992$$c/m:$$\frac{1992x}{xy+1992x+1992}+\frac{y}{yz+y+1992}+\frac{z}{xz+z+1}=1$

GTLN, GTNN

Đa thức

giúp 1 tí nhá mấy anh

bài 1:tìm $GTLN$ của tổng $x+y+z$ biết$x+5y=21,2x+3z=51.x,y,z \ge 0$ bài 2:tìm $GTNN$ của $\frac{x^2+15x+16}{3x}$ với $x>0$bài 3:giả sử $x,y,z$ thỏa mãn$ x.y.z=1992$$c/m:$$\frac{1992x}{xy+1992x+1992}+\frac{y}{yz+y+1992}+\frac{z}{xz+z+1}=1$

GTLN, GTNN

Đa thức

$c)x^4-x^3+6x^2-x+3=(x^2+\frac{1}2x)^2+\frac{23}4(x-\frac{2}{23})^2+\frac{68}{73}>0$$\Rightarrow$pt đã cho vô nghiệm

$c)x^4-x^3+6x^2-x+3=(x^2+\frac{1}2x)^2+\frac{23}4(x-\frac{2}{23})^2+\frac{68}{23}>0$$\Rightarrow$pt đã cho vô nghiệm

Ta có $a^2+b^2+9=6a+4b\Leftrightarrow (a-3)^2+(b-2)^2=4$Áp dụng bđt $Schwarz$, ta lại có: $[3(a-3)+4(b-2)]^2 \le (3^2+4^2)[(a-3)^2+(b-2)^2]=25.4=100$$\Leftrightarrow -10\le 3(a-3)+4(b-2)\le 10$$\Leftrightarrow -10+17 \le 3(a-3)+4(b-2)+17\le 10+17$$\Leftrightarrow 7\le Q\le 27$Vậy $Min_Q=7$ khi $\begin{cases}a=\frac{9}{2} \\ b=\frac{2}{5} \end{cases};Max_Q=27$ khi $\begin{cases}a=\frac{21}{5} \\ b=\frac{18}{5} \end{cases}$

Ta có $a^2+b^2+9=6a+4b\Leftrightarrow (a-3)^2+(b-2)^2=4$Áp dụng bđt $Schwarz$, ta lại có: $[3(a-3)+4(b-2)]^2 \le (3^2+4^2)[(a-3)^2+(b-2)^2]=25.4=100$$\Leftrightarrow -10\le 3(a-3)+4(b-2)\le 10$$\Leftrightarrow -10+17 \le 3(a-3)+4(b-2)+17\le 10+17$$\Leftrightarrow 7\le Q\le 27$Vậy $Min_Q=7$ khi $\begin{cases}a=\frac{9}{5} \\ b=\frac{2}{5} \end{cases};Max_Q=27$ khi $\begin{cases}a=\frac{21}{5} \\ b=\frac{18}{5} \end{cases}$

$Q=3a+4b=3(a-3)+4(b-2)+17$$ \overset{Schwarz}{\le} \sqrt{(3^2+4^2)[(a-3)^2+(b-2)^2]}+17=\sqrt{25.(a^2-6a+9+b^2-4b+4)}+17$$=\sqrt{25.4}+17=27$Dấu $"="$ xảy ra khi $a=\frac{21}5,b=\frac{18}5$

Ta có $a^2+b^2+9=6a+4b\Leftrightarrow (a-3)^2+(b-2)^2=4$Áp dụng bđt $Schwarz$, ta lại có: $[3(a-3)+4(b-2)]^2 \le (3^2+4^2)[(a-3)^2+(b-2)^2]=25.4=100$$\Leftrightarrow -10\le 3(a-3)+4(b-2)\le 10$$\Leftrightarrow -10+17 \le 3(a-3)+4(b-2)+17\le 10+17$$\Leftrightarrow 7\le Q\le 27$Vậy $Min_Q=7$ khi $\begin{cases}a=\frac{9}{2} \\ b=\frac{2}{5} \end{cases};Max_Q=27$ khi $\begin{cases}a=\frac{21}{5} \\ b=\frac{18}{5} \end{cases}$

2) Ta có $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$ (cái này dễ tự c/m nha :D )$\Rightarrow (a+b+c)^3=6c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$Tồn tại ít nhất $2$ trong $3$ số $a,b,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên tổng của chúng là số chẵn$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 2\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a) \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 6$ mà $6c^3$ cũng chia hết cho 6$\Rightarrow (a+b+c)^3 \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 6$ $\Rightarrow a+b+c \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 6\Rightarrow OK$

2) Ta có $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$ (cái này dễ tự c/m nha :D )$\Rightarrow (a+b+c)^3=6c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$Tồn tại ít nhất $2$ trong $3$ số $a,b,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên tổng của chúng là số chẵn$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 2\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a) \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 6$ mà $6c^3$ cũng chia hết cho $6$$\Rightarrow (a+b+c)^3 \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 6$ $\Rightarrow a+b+c \hspace{1mm} \vdots \hspace{1mm} 6\Rightarrow OK $ :D

3.Đk :$4-x \ge 0;x+1 \ge0$$x(x-3)(x+1)=(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})-3=\frac{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})^2-9}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})+3}=\frac{2(\sqrt{(4-x)(x+1)}-2)}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})+3}=\frac{2[(4-x)(x+1)-4]}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1}+3)[\sqrt{(4-x)(x+1)+2}]}$$=\frac{-2x(x-3)}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1}+3)[\sqrt{(4-x)(x+1)+2}]}$$\Rightarrow x(x-3) \color{red}{(x+1+\frac{2}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1}+3)[\sqrt{(4-x)(x+1)+2}]})}=0$Từ đk dễ thấy biểu thức màu đỏ $>0 $$\Rightarrow$ pt có 2 nghiệm $x=0,x=3$ (thỏa đk)

3.Đk :$4-x \ge 0;x+1 \ge0$$x(x-3)(x+1)=(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})-3=\frac{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})^2-9}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})+3}=\frac{2(\sqrt{(4-x)(x+1)}-2)}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1})+3}=\frac{2[(4-x)(x+1)-4]}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1}+3)[\sqrt{(4-x)(x+1)}+2]}$$=\frac{-2x(x-3)}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1}+3)[\sqrt{(4-x)(x+1)+2}]}$$\Rightarrow x(x-3) \color{red}{(x+1+\frac{2}{(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1}+3)[\sqrt{(4-x)(x+1)}+2]})}=0$Từ đk dễ thấy biểu thức màu đỏ $>0 $$\Rightarrow$ pt có 2 nghiệm $x=0,x=3$ (thỏa đk)

phương trình khó!!! HELP ME!!!

1, 3\sqrt{x+2}+(x-2)\sqrt[3]{3x-5}=2x^{2}-3x+42, \sqrt{28-3x}-24=\sqrt{x}(7x-12\sqrt{x}-14)3, x(x+1)(x-3)+3=\sqrt{4-x}+\sqrt{1+x}

Phương trình

phương trình khó!!! HELP ME!!!

1, $3\sqrt{x+2}+(x-2)\sqrt[3]{3x-5}=2x^{2}-3x+4$2, $\sqrt{28-3x}-24=\sqrt{x}(7x-12\sqrt{x}-14)$3, $x(x+1)(x-3)+3=\sqrt{4-x}+\sqrt{1+x}$

Phương trình

bài tập hay

$x + y = 1 + \sqrt{xy}$$\sqrt{x^{2}+3} +\sqrt{y^{2}+3} = 4$

Hệ phương trình

bài tập hay

$\begin{cases}x + y = 1 + \sqrt{xy} \\\sqrt{x^{2}+3} +\sqrt{y^{2}+3} = 4 \end{cases}$

Hệ phương trình

mọi người giúp em vs ạ e cảm ơn mọi người

trong hẹ mặt phẳng OXY , cho tam giác ABC có A (2,-1) ; B (1,-2) trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng x+y-2=0 tìm tọa độ ddierm C biết diện tích tam giác ABC là 13,5

Hình học phẳng

mọi người giúp em vs ạ e cảm ơn mọi người

trong hẹ mặt phẳng $Oxy$, cho $\triangle ABC$ có $A (2,-1) ; B (1,-2)$ trọng tâm $G$ của tam giác thuộc đường thẳng $x+y-2=0$ tìm tọa độ điểm $C$ biết diện tích tam giác $ABC$ là $13,5$

Hình học phẳng

Ko mất tính tổng quát, giả sử $x_2 \ge x_1$Ta có : $\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1} \ge 1$$\Rightarrow x_4 \ge x_3 \ge x_2 \ge x_1$Phương trình $x^2-3x+m=0$ có $2$ nghiệm $x_2 \ge x_1 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_2=\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2}$ với $\Delta_1=9-4m \ge 0$ hay $m \le \frac{9}{4}$Phương trình $x^2-12x+n$ có $2$ nghiệm $x_4 \ge x_3 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_4=6+\sqrt{\Delta_2};x_3=6-\sqrt{\Delta_2}$ với đk $\Delta_2=36-n \ge 0$ hay $n \le 36$$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_4}{x_3}\Rightarrow \frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{3-\sqrt{\Delta_1}}=\frac{6+\sqrt{\Delta_2}}{6-\sqrt{\Delta_2}}$Nhân chéo rút gọn đc $2\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{\Delta_2}(1)$ $* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}\Rightarrow x_2^2=x_1x_3\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-\sqrt{\Delta_2}) (2) $Thế $(1)$ vào $(2)$, ta có $(\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-2\sqrt{\Delta_1})$$\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(3-\sqrt{\Delta_1})^2$$\Rightarrow 3+\sqrt{\Delta_1} =2(3-\sqrt{\Delta_1})\Rightarrow \sqrt{\Delta_1}=1\Rightarrow \Delta_1=1$$\Rightarrow \sqrt{\Delta_2}=2\Rightarrow \Delta_2 =4$Ta có $\begin{cases} \Delta_1=1 \\ \Delta_2= 4\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}9-4m=1= \\ 36-n=4 \end{cases}\Leftrightarrow \color{red}{\begin{cases}m=2 \\ n=32 \end{cases}} $ (thõa đk)

Ko mất tính tổng quát, giả sử $x_2 \ge x_1$Ta có : $\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1} \ge 1$$\Rightarrow x_4 \ge x_3 \ge x_2 \ge x_1$Phương trình $x^2-3x+m=0$ có $2$ nghiệm $x_2 \ge x_1 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_2=\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2}$ với $\Delta_1=9-4m \ge 0$ hay $m \le \frac{9}{4}$Phương trình $x^2-12x+n$ có $2$ nghiệm $x_4 \ge x_3 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_4=6+\sqrt{\Delta_2};x_3=6-\sqrt{\Delta_2}$ với đk $\Delta_2=36-n \ge 0$ hay $n \le 36$$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_4}{x_3}\Rightarrow \frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{3-\sqrt{\Delta_1}}=\frac{6+\sqrt{\Delta_2}}{6-\sqrt{\Delta_2}}$Nhân chéo rút gọn đc $2\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{\Delta_2}(1)$ $* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}\Rightarrow x_2^2=x_1x_3\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-\sqrt{\Delta_2}) (2) $Thế $(1)$ vào $(2)$, ta có $(\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-2\sqrt{\Delta_1})$$\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(3-\sqrt{\Delta_1})^2$$\Rightarrow 3+\sqrt{\Delta_1} =2(3-\sqrt{\Delta_1})\Rightarrow \sqrt{\Delta_1}=1\Rightarrow \Delta_1=1$$\Rightarrow \sqrt{\Delta_2}=2\Rightarrow \Delta_2 =4$Ta có $\begin{cases} \Delta_1=1 \\ \Delta_2= 4\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}9-4m=1 \\ 36-n=4 \end{cases}\Leftrightarrow \color{red}{\begin{cases}m=2 \\ n=32 \end{cases}} $ (thõa đk)

Ko mất tính tổng quát, giả sử $x_2 \ge x_1$Ta có : $\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1} \ge 1$$\Rightarrow x_4 \ge x_3 \ge x_2 \ge x_1$Phương trình $x^2-3x+m=0$ có $2$ nghiệm $x_2 \ge x_1 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_2=\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2}$ với $\Delta_1=9-4m \ge 0$ hay $m \le \frac{9}{4}$Phương trình $x^2-12x+n$ có $2$ nghiệm $x_4 \ge x_3 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_4=6+\sqrt{\Delta_2};x_3=6-\sqrt{\Delta_2}$ với đk $\Delta_2=36-n \ge 0$ hay $n \le 36$$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_4}{x_3}\Rightarrow \frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{3-\sqrt{\Delta_1}}=\frac{6+\sqrt{\Delta_2}}{6-\sqrt{\Delta_2}}$Nhân chéo rút gọn đc $2\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{\Delta_2}(1)$ $* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}\Rightarrow x_2^2=x_1x_3\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-\sqrt{\Delta_2}) (2) $Thế $(1)$ vào $(2)$, ta có $(\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-2\sqrt{\Delta_1})$$\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(3-\sqrt{\Delta_1})^2$$\Rightarrow 3+\sqrt{\Delta_1} =2(3-\sqrt{\Delta_1})\Rightarrow \sqrt{\Delta_1}=1\Rightarrow \Delta_1=1$$\Rightarrow \sqrt{\Delta_2}=2\Rightarrow \Delta_2 =4$Ta có $\begin{cases} \Delta_1=1 \\ \Delta_2= 4\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}9-4m=1= \\ 36-n=4 \end{cases}\Leftrightarrow \color{red}{\begin{cases}x=2 \\ y=32 \end{cases}} $ (thõa đk)

Ko mất tính tổng quát, giả sử $x_2 \ge x_1$Ta có : $\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1} \ge 1$$\Rightarrow x_4 \ge x_3 \ge x_2 \ge x_1$Phương trình $x^2-3x+m=0$ có $2$ nghiệm $x_2 \ge x_1 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_2=\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2}$ với $\Delta_1=9-4m \ge 0$ hay $m \le \frac{9}{4}$Phương trình $x^2-12x+n$ có $2$ nghiệm $x_4 \ge x_3 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_4=6+\sqrt{\Delta_2};x_3=6-\sqrt{\Delta_2}$ với đk $\Delta_2=36-n \ge 0$ hay $n \le 36$$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_4}{x_3}\Rightarrow \frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{3-\sqrt{\Delta_1}}=\frac{6+\sqrt{\Delta_2}}{6-\sqrt{\Delta_2}}$Nhân chéo rút gọn đc $2\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{\Delta_2}(1)$ $* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}\Rightarrow x_2^2=x_1x_3\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-\sqrt{\Delta_2}) (2) $Thế $(1)$ vào $(2)$, ta có $(\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-2\sqrt{\Delta_1})$$\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(3-\sqrt{\Delta_1})^2$$\Rightarrow 3+\sqrt{\Delta_1} =2(3-\sqrt{\Delta_1})\Rightarrow \sqrt{\Delta_1}=1\Rightarrow \Delta_1=1$$\Rightarrow \sqrt{\Delta_2}=2\Rightarrow \Delta_2 =4$Ta có $\begin{cases} \Delta_1=1 \\ \Delta_2= 4\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}9-4m=1= \\ 36-n=4 \end{cases}\Leftrightarrow \color{red}{\begin{cases}m=2 \\ n=32 \end{cases}} $ (thõa đk)

Vì $x=2+\sqrt{5}$ là nghiệm của pt nên thay vào, ta có :$(2+\sqrt5)^3+a.(2+\sqrt5)^2+b.(2+\sqrt5)+1=0$$\Rightarrow(17\sqrt5+38)+a.(9+4\sqrt5)+b.(2+\sqrt5)+1=0$$\Rightarrow 9a+2b+39=-\sqrt5(4a+b+17)$Vì $VT$ là số hữu tỉ nên $VP$ cũng là số hữu tỉmà $\sqrt5$ là số vô tỉ và $(4a+b+17)$ là số hữu tỉ nên $VP$ hữu tỉ khi và chỉ khi $4a+b+17=0$khi đó $VT=0$ và ta có hpt: $\begin{cases}9a+2b+39=0 \\ 4a+b+17=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-5 \\ y=3 \end{cases}$ (thỏa mãn $x,y \in \mathbb{Q})$

Vì $x=2+\sqrt{5}$ là nghiệm của pt nên thay vào, ta có :$(2+\sqrt5)^3+a.(2+\sqrt5)^2+b.(2+\sqrt5)+1=0$$\Rightarrow(17\sqrt5+38)+a.(9+4\sqrt5)+b.(2+\sqrt5)+1=0$$\Rightarrow 9a+2b+39=-\sqrt5(4a+b+17)$Vì $VT$ là số hữu tỉ nên $VP$ cũng là số hữu tỉmà $\sqrt5$ là số vô tỉ và $(4a+b+17)$ là số hữu tỉ nên $VP$ hữu tỉ khi và chỉ khi $4a+b+17=0$khi đó $VT=0$ và ta có hpt: $\begin{cases}9a+2b+39=0 \\ 4a+b+17=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-5 \\b=3 \end{cases}$ (thỏa mãn $x,y \in \mathbb{Q})$