|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức ?
|
|
|
|
$\frac 32P+\frac 32=\frac 12[(\frac{1}{a^2}+1)+(\frac{1}{b^2}+1)+(\frac{1}{c^2}+1)]+(\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac 1{c^2})$ $ \ge \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c+\frac 1{ab} + \frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{abc}=6$ $\Leftrightarrow 3P+3 \ge 12\Leftrightarrow P \ge 3$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giá trị nhỏ nhất
|
|
|
|
Gọi $x$ là nghiệm thực của pt $3x^2=(4-2x)^3$ (giải pt đc $x>0$) Ta có $P=(xa^3+xb^3+3d^3)+(xb^3+xc^3+3d^3)+(xc^3+xa^3+3d^3)+[(4-2x)a^3+(4-2x)b^3+(4-2x)c^3]$ $ \ge 3\sqrt[3]{3x^2}.abd+3\sqrt[3]{3x^2}.bcd+3\sqrt[3]{3x^2}.cda+3(4-2x).abc$ $=3(4-2x)(abd+bcd+cda+abc)=6(2-x)$ Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{\frac 3x}.d \approx 0,67823$
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Ứng dụng của một BĐT đẹp...
|
|
|
|
Cần chứng minh $3x^2+(x-1)^2 \le x^4+x^2+1\Leftrightarrow x(x^3-3x+2) \ge 0$ $\Leftrightarrow x^3-3x+2 \ge 0 $(đúng theo bđt $AM-GM : x^3+1+1-3x \ge 3x-3x=0$) |
|
|
|
giải đáp
|
Ứng dụng của một BĐT đẹp...
|
|
|
|
1) Đặt $\frac ba =x, \frac cb =y, \frac ac =z (xyz=1)$ Có $VT=\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}= \sum\frac 1{\sqrt{1+7\frac ba+(\frac ba)^2}}= \sum\frac 1{\sqrt{x^2+7x+1}}$ Ta cần chứng minh $\frac 1{\sqrt{x^2+7x+1}} \ge \frac 1{x+\sqrt x+1} (1)$ đúng từ đó áp dụng bài toán trên suy ra đpcm Thật vậy $(1)\Leftrightarrow (x+\sqrt x+1)^2 \ge x^2+7x+1\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2 \ge 0$ (luôn đúng)
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Hệ siêu chuối
|
|
|
|
Áp dụng bđt Mincốpxki, ta có : $VT=\sqrt{4x^2+(x+y)^2+y^2}+\sqrt{4y^2+(x+y)^2+x^2} \ge \sqrt{4(x+y)^2+4(x+y)^2+(x+y)^2} =3(x+y)=VP$Dấu $"="$ khi và chỉ khi $x=y$ Vậy $x=y$ thay vào pt $(2)$, ta có : $2x^2+3x+7=(x+5)\sqrt{2x^2+1}$ Tới đây bình phương lên bậc 4 giải :D
|
|
|
|
giải đáp
|
Khai xuân Bính Thân :D
|
|
|
|
Làm trước vài cái :D Ta có : $\begin{cases}b+c=6-a \\ bc=9-a(b+c) \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b+c=6-a \\ bc=(a-3)^2 \end{cases}$ Vì $(b+c)^2 \ge 4bc\Leftrightarrow (6-a)^2 \ge 4(a-3)^2\Leftrightarrow a(a-4) \le0\Leftrightarrow 0 \le a\le 4$ Thiết lập tương tự $\Rightarrow 0 \le c \le 4$ Ta lại có $ab=(c-3)^2 \le(4-3)^2=1\Leftrightarrow a \le\frac 1b \le \frac 1a\Leftrightarrow a^2 \le 1$ Mà $a \ge 0\Rightarrow a \le 1$ Vậy $0 \le a \le 1 ,c \le 4$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giúp mình với
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
đại số
|
|
|
|
$4x+5y=7\Leftrightarrow \begin{cases}x=5t-7 \\ y=7-4t \end{cases} \forall t \in \mathbb{Z}$ Khi đó $A=5|5t-7|-3|7-4t|$ Với $t=1$ thì $A=1$ Với $t \ge 2$. $A=5(5t-7)-3(4t-7)=13t-14 \ge 13.2-14=12$ Với $ t \le0$. $A=5(7-5t)-3(7-4t)=-13t+14 \ge -13.0+14=14$ Vậy $GTNN$ của $A$ là $1$ khi và chỉ khi $x=-2;y=3$ |
|
|
|
giải đáp
|
lm nhé trường
|
|
|
|
Đk $x>2$ hoặc $x<-2$ Với $x<-2$ bpt VN do $VP>0>VT$ Với $x>2,bpt\Leftrightarrow 2x>(3\sqrt 5-x)\sqrt{x^2-4}(*)$ * $x \ge 3\sqrt 5,(*)$ đúng do $VP>0>VT$ * $x < 3\sqrt 5$ $(*)\Leftrightarrow 4x^2>(3\sqrt 5-x)^2(x^2-4)$ $\Leftrightarrow x^4-6\sqrt 5x^3+37x^2+24\sqrt 5x-180<0$ $\Leftrightarrow (x^2-3\sqrt 5x-18)(x^2-3\sqrt 5x+10)<0$ Từ đây lập bxd kết hợp với đk $\Rightarrow x\in (2;\sqrt 5) \cup(2\sqrt 5;+\infty)$ |
|
|
|
giải đáp
|
GTNN của hàm số
|
|
|
|
Cô-si 4 số : $y=x^3+\frac 1{3x}+\frac 1{3x}+\frac 1{3x} \ge 4\sqrt[4]{\frac 1{27}}$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Cần gấp !
|
|
|
|
Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+mx+n$ ($m,n$ nguyên dương). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ sao cho $f(a)=f(2012).f(2013)$
|
|
|
|
giải đáp
|
cm bđt... nữa.
|
|
|
|
Với $n=1$ ta đc bđt $Nesbit$ quen thuộc Với $n=2$, dùng $Cauchy-Schwarz$, ta có $M \ge \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}2\ge\frac 32$ Với $n >2$, áp dụng bđt $AM-GM$, ta có : $\frac{x^n}{y+z}+\frac{x^{n-2}(y+z)}4 \ge 2\sqrt{\frac{x^{2n-2}(y+z)}{(y+z).4}}=x^{n-1}$ Thiết lập 2 bđt tương tự rồi cộng lại $\Rightarrow M\ge x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1}-\frac{x^{n-2}(y+z)+y^{n-2}(z+x)+z^{n-2}(x+y)}{4}$ $=\frac{x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1}}{2}+\frac{2\sum x^{n-1}- \sum xy(x^{n-3}+y^{n-3})}{4}$ $\ge \frac{3\sqrt[3]{(xyz)^{n-1}}}{2}+\frac{\sum[x^{n-1}+y^{n-1}-xy(x^{n-3}+y^{n-3})]}{4}$ Do đó ta chỉ cần chứng minh $x^{n-1}+y^{n-1} \ge xy(x^{n-3}+y^{n-3})(*)$ ~~~~~~~~~ $VT(*)=\frac{x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{n-1}+y^{n-1}}{n-1}+\frac{y^{n-1}+y^{n-1}+...+y^{n-1}+x^{n-1}}{n-1}$ $\ge \frac{(n-1)\sqrt[n-1]{(x.x.x...y)^{n-1}}}{n-1}+\frac{(n-1)\sqrt[n-1]{(y.y.y...x)^{n-1}}}{n-1}$ $=x^{n-2}y+y^{n-2}x=xy(x^{n-3}+y^{n-3})=VP$ Dấu $"="$ khi $x=y=z=1$
|
|
|
|
giải đáp
|
giúp vs mn ơi
|
|
|
|
Đk $x \ne0,y \ne0$ Áp dụng bđt cô-si , ta có $(x^2+y^2)+(\frac 1{x^2}+\frac 1{y^2}) \ge 2\sqrt{(x^2+y^2)(\frac 1{x^2}+\frac 1{y^2})} \ge 2\sqrt{2xy.2.\frac 1{xy}}=4$ Dấu $"="$ xảy ra khi $x^2=1, y^2=1$ Vậy $pt(2) \Leftrightarrow \begin{cases}x= \pm1 \\y =\pm 1 \end{cases}$ Thế vào $pt(1)\Rightarrow x=y=1$ |
|