Cho các số thực dương a,b,c thõa a+b+c=3. Chứng minh :

$\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\leq 3/2$

Bất đẳng thức

Cho các số thực dương a,b,c thõa a+b+c=3. Chứng minh :

$\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\leq 3/4$

Bất đẳng thức

$1(3.1+1)+2(3.2+1)+...+n(3.n+1)$$=3.1^2+1+3.2^2+2+...+3n^2+n=3(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)$$=3[1.(2-1)+2.(3-2)+...n(n+1-1)]+(1+2+3+...+n)=3[(1.2+2.3+...+n(n+1)-(1+2+3+...+n)]+(1+2+3+...+n)$$=1.2.3+2.3.3+...+n(n+1).3-2(1+2+3+...+n)$$=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+n(n+1)(n+2+1-n)-2(1+2+3...+n)$$= [1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)-[0.1.2+1.2.3+...+n(1-n)]-2(1+2+3+...+n)$$=n(n+1)(n+2)-0.1.2-2(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)-n(n+1)=n(n+1)^2$

$1(3.1+1)+2(3.2+1)+...+n(3.n+1)$$=3.1^2+1+3.2^2+2+...+3n^2+n=3(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)$$=3[1.(2-1)+2.(3-2)+...n(n+1-1)]+(1+2+3+...+n)=3[(1.2+2.3+...+n(n+1)-(1+2+3+...+n)]+(1+2+3+...+n)$$=1.2.3+2.3.3+...+n(n+1).3-2(1+2+3+...+n)$$=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+n(n+1)(n+2+1-n)-2(1+2+3...+n)$$= [1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)-[0.1.2+1.2.3+...+n(1-n)(n+1)]-2(1+2+3+...+n)$$=n(n+1)(n+2)-0.1.2-2(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)-n(n+1)=n(n+1)^2$

$a+2b+2\sqrt{2}ab=2012+2011\sqrt{2}\Rightarrow (a+2b-2012)=\sqrt{2}(2011-2ab)$Nếu tồn tại 2 số nguyên $a,b$ thì $2011-2ab\neq0$ vì $2011$ là số lẻ mà $2ab$ số chẵnVà tất nhiên $a+2b+2012=\sqrt{2}(2011-2ab)$ ko là số nguyên vì $2011-2ab$ là số nguyên khác $0$ mà $\sqrt{2}$ ko là số vô tỉTa lại có $a+2b+2012$ là số nguyênĐiều này mâu thuẫn với đề bài$\Rightarrow$ đpcm

$a+2b+2\sqrt{2}ab=2012+2011\sqrt{2}\Rightarrow (a+2b-2012)=\sqrt{2}(2011-2ab)$Nếu tồn tại 2 số nguyên $a,b$ thì $2011-2ab\neq0$ vì $2011$ là số lẻ mà $2ab$ số chẵnVà tất nhiên $a+2b+2012=\sqrt{2}(2011-2ab)$ ko là số nguyên vì $2011-2ab$ là số nguyên khác $0$ mà $\sqrt{2}$ là số vô tỉTa lại có $a+2b+2012$ là số nguyênĐiều này mâu thuẫn với đề bài$\Rightarrow$ đpcm

a)$ (x-y)(x-2y)$b)$(x-y)(3x-2y$

a)$ (x-y)(x-2y)$b)$(x-y)(3x-2y)$

pt $\Leftrightarrow( \sqrt{x+2}-2)+(\sqrt{3-x}-1)=x^3+x^2-4x-4$ $\Rightarrow\frac{(\sqrt{x+2})^2-2^2}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{(\sqrt{3-x})^2-1^2}{\sqrt{3-x}+1}=x^2(x+1)-4(x+1)$ $\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{{2-x}}{\sqrt{3-x}+1}-(x-2)(x+2)(x+1)=0$ $\Rightarrow (x-2)(\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-(x+2)(x+1))=0$dc 1 nghiệm là $x=2$, giải pt còn lại dc $x=-1$ (tại dài quá nên lười :D)

pt $\Leftrightarrow( \sqrt{x+2}-2)+(\sqrt{3-x}-1)=x^3+x^2-4x-4$ (ĐK : $-2 \leq x \leq 3$) $\Rightarrow\frac{(\sqrt{x+2})^2-2^2}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{(\sqrt{3-x})^2-1^2}{\sqrt{3-x}+1}=x^2(x+1)-4(x+1)$ $\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{{2-x}}{\sqrt{3-x}+1}-(x-2)(x+2)(x+1)=0$ $\Rightarrow (x-2)(\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}-\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-(x+2)(x+1))=0$dc 1 nghiệm là $x=2$, giải pt còn lại dc $x=-1$ (tại dài quá nên lười :D)

$1)$Ta có $x^2-4x+(3-3^y)=0,\Delta' =4-(3-3^y)=1+3^y$Để pt có nghiệm nguyên $\Rightarrow \Delta'$là số chính phươngĐặt $\Delta'=a^2\Rightarrow 1+3^y=a^2\Rightarrow 3^y=(a-1)(a+1)$Nhận thấy $3^y$ là tích của hai số cách nhau 2 đơn vị. Điều này chỉ xảy ra khi $y=1$Với $y=1$ thì $x=0$ hoặc $x=4$Vậy $S={(0;1);(4;1)}$ $2)$ Áp dụng công thức $A\pm B=\frac{A^2-B^2}{A\mp B}(*)$Ta có $\sqrt{x^2+1}+x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$Từ phương trình suy ra $\sqrt{y^2+4}+y=2(\sqrt{x^2+1}-x)\Rightarrow (y+2x)+(\sqrt{y^2+4}-2\sqrt{x^2+1})=0$Tiếp tục sử dụng $(*)\Rightarrow(y+2x)+\frac{y^2+4-4x^2-4}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (2x+y)+\frac{(y+2x)(y-2x)}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (x+2y)(1+\frac{x-2y}{\sqrt{y^2+4}+\sqrt{x^2+1}})=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow $ đpcm

$1)$Ta có $x^2-4x+(3-3^y)=0,\Delta' =4-(3-3^y)=1+3^y$Để pt có nghiệm nguyên $\Rightarrow \Delta'$là số chính phươngĐặt $\Delta'=a^2\Rightarrow 1+3^y=a^2\Rightarrow 3^y=(a-1)(a+1)$Nhận thấy $3^y$ là tích của hai số cách nhau 2 đơn vị. Điều này chỉ xảy ra khi $y=1$Với $y=1$ thì $x=0$ hoặc $x=4$Vậy $S={(0;1);(4;1)}$ $2)$ Áp dụng công thức $A\pm B=\frac{A^2-B^2}{A\mp B}(*)$Ta có $\sqrt{x^2+1}+x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$Từ phương trình suy ra $\sqrt{y^2+4}+y=2(\sqrt{x^2+1}-x)\Rightarrow (y+2x)+(\sqrt{y^2+4}-2\sqrt{x^2+1})=0$Tiếp tục sử dụng $(*)\Rightarrow(y+2x)+\frac{y^2+4-4x^2-4}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (2x+y)+\frac{(y+2x)(y-2x)}{\sqrt{y^2+4}+2\sqrt{x^2+1}}=0\Leftrightarrow (x+2y)(1+\frac{x-2y}{\sqrt{y^2+4}+\sqrt{x^2+1}})=0\Rightarrow x+2y=0$

Câu khó nhất trong đề thi HSG Văn

Tìm năm sinh của nhà thơ Nguyễn Du, biết năm $1786$ thì tuổi ông bằng tổng các chữ số của của năm ông sinh ra (biết ông sống không đến $86$ tuổi)

Giải bài toán bằng cách...

Câu khó nhất trong đề thi HSG Văn

Tìm năm sinh của nhà thơ Nguyễn Du, biết năm $1786$ thì tuổi ông bằng tổng các chữ số của năm ông sinh ra (biết ông sống không đến $86$ tuổi)

Giải bài toán bằng cách...

Giải pt

$\sqrt{3x^{2}-7x+3}-\sqrt{3x^{2}-5-1}=\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

Phương trình vô tỉ

Giải pt

$\sqrt{3x^{2}-7x+3}-\sqrt{3x^{2}-5x-1}=\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

Phương trình vô tỉ

giúp

Cho $a>0$ Tìm GTNN của $A=x^{2}+\frac{1}{4x}$

GTLN, GTNN

giúp

Cho $x>0$ Tìm GTNN của $A=x^{2}+\frac{1}{4x}$

GTLN, GTNN

a) Vì $z=0$ không là nghiệm nên chia pt cho $z^{2}$$\Rightarrow z^{2}-3z+2+\frac{3}{z}+\frac{1}{z^{2}}=0\Rightarrow (z^{2}-2+\frac{1}{z^{2}})-3(z-\frac{1}{z})+4=0$, đặt $y=z-\frac{1}{z}$$\Rightarrow y^{2}-3y+4=0\Rightarrow y=\frac{3\pm \sqrt{7}i}{2}\Rightarrow z$ vô nghiệmb) Tương tự, chia pt cho $z^{2}$$\Rightarrow z^{2}-2z+1-\frac{2}{z}+\frac{1}{z^{2}}=0\Rightarrow (z^{2}+2+\frac{1}{z^{2}})-2(z+\frac{1}{z})-1$, đặt $x=z+\frac{1}{z}$$\Rightarrow x^{2}-2x+1=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$$* z+\frac{1}{z}=1+\sqrt{2}\Rightarrow z_1;z_2=\frac{\sqrt{2}+1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$$*z+\frac{1}{z}=1-\sqrt{2}\Rightarrow z_3;z_4=\frac{-\sqrt{2}+1\pm \sqrt{2\sqrt{2}+1}i}{2}$Phương trình có 2 nghiệm thực, 2 nghiệm phức

a) Vì $z=0$ không là nghiệm nên chia pt cho $z^{2}$$\Rightarrow z^{2}-3z+2+\frac{3}{z}+\frac{1}{z^{2}}=0\Rightarrow (z^{2}-2+\frac{1}{z^{2}})-3(z-\frac{1}{z})+4=0$, đặt $y=z-\frac{1}{z}$$\Rightarrow y^{2}-3y+4=0\Rightarrow y=\frac{3\pm \sqrt{7}i}{2}\Rightarrow z$ vô nghiệmb) Tương tự, chia pt cho $z^{2}$$\Rightarrow z^{2}-2z+1-\frac{2}{z}+\frac{1}{z^{2}}=0\Rightarrow (z^{2}+2+\frac{1}{z^{2}})-2(z+\frac{1}{z})-1$, đặt $x=z+\frac{1}{z}$$\Rightarrow x^{2}-2x-1=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$$* z+\frac{1}{z}=1+\sqrt{2}\Rightarrow z_1;z_2=\frac{\sqrt{2}+1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$$*z+\frac{1}{z}=1-\sqrt{2}\Rightarrow z_3;z_4=\frac{-\sqrt{2}+1\pm \sqrt{2\sqrt{2}+1}i}{2}$Phương trình có 2 nghiệm thực, 2 nghiệm phức

Áp dụng bđt schwarz$A=\frac{2}{9-3a}+\frac{9}{3a+3}\geq \frac{(\sqrt{2}+3)^{2}}{9-3a+3a+3}=\frac{11+6\sqrt{2}}{12}\Rightarrow GTNN$Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{\sqrt{2}}{9-3a}=\frac{1}{a+1}\Rightarrow a=\frac{9-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3}=\frac{29-12\sqrt{2}}{7}$

Áp dụng bđt schwarz cho các số dương$A=\frac{2}{9-3a}+\frac{9}{3a+3}\geq \frac{(\sqrt{2}+3)^{2}}{9-3a+3a+3}=\frac{11+6\sqrt{2}}{12}\Rightarrow GTNN$Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{\sqrt{2}}{9-3a}=\frac{1}{a+1}\Rightarrow a=\frac{9-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3}=\frac{29-12\sqrt{2}}{7}$

a) khai triển $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ (câu $b$)$\Rightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0\Rightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$$\Rightarrow a=b=c$

a) khai triển $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ (phần sau này giống câu $b$)$\Rightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0\Rightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$$\Rightarrow a=b=c$

Số chính phương

Tìm số $\overline{abcd}$, biết $\overline{abd}$ và $\overline{abcd}+72 $ các số chính phương

Số học

Số chính phương

Tìm số $\overline{abcd}$, biết $\overline{abd}$ và $\overline{abcd}+72 $ là các số chính phương

Số học

Toán tư duy đây anh em

Người ta đồn rằng ở một ngôi đền nọ rất thiêng do 3 vị thần ngự trị: thần Thật Thà (luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn nói dối) và thần Khôn Ngoan (khi nói thật, khi nói dối). Các vị thần đều ngự ở trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có người thỉnh cầu. Nhưng hình dạng của 3 vị thần giống hệt nhau nên người ta không biết vị thần nào trả lời để mà tin hay không tin.Một hôm, một học giả từ phương xa đến đền gặp các thần để xin lời thỉnh cầu. Bước vào đền, học giả hỏi thần ngồi bên phải:- Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Dối TráTiếp đó hỏi thần ngồi giữa - Ngài là thần gì? - Tôi là thần Khôn NgoanCuối cùng ông quay sang hỏi thần bân trái-Ai ngồi cạnh ngài?- Đó là thần Thật ThàNghe xong học giả khẳng định được mỗi vị là thần gì. Cho biết học giả đó đã suy luận ntn?

Áp dụng mệnh đề vào suy...

Toán tư duy đây anh em

Người ta đồn rằng ở một ngôi đền nọ rất thiêng do 3 vị thần ngự trị: thần Thật Thà (luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn nói dối) và thần Khôn Ngoan (khi nói thật, khi nói dối). Các vị thần đều ngự ở trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có người thỉnh cầu. Nhưng hình dạng của 3 vị thần giống hệt nhau nên người ta không biết vị thần nào trả lời để mà tin hay không tin.Một hôm, một học giả từ phương xa đến đền gặp các thần để xin lời thỉnh cầu. Bước vào đền, học giả hỏi thần ngồi bên phải:- Ai ngồi cạnh ngài? - Đó là thần Dối TráTiếp đó hỏi thần ngồi giữa - Ngài là thần gì? - Tôi là thần Khôn NgoanCuối cùng ông quay sang hỏi thần bên trái-Ai ngồi cạnh ngài?- Đó là thần Thật ThàNghe xong học giả khẳng định được mỗi vị là thần gì. Cho biết học giả đó đã suy luận ntn?

Áp dụng mệnh đề vào suy...

Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$Gọi $H'$ là giao của $(O)$ và $AH$; vẽ bán kính $AOE'$Ta có $\widehat{CAE}=\widehat{BAH}= \frac{1}{2}$ sđ cung $BH'$ $(1)$Do $CB$ song song $H'E'$(cùng vuông $AH$) $\Rightarrow$$\frac{1}{2}$ sđ cung $BH'$=$\frac{1}{2}$ sđ cung $CE'=\widehat{CAE'}=\widehat{CAO}$ $(2)$Từ $(1)$ & $(2)$ $\Rightarrow \widehat{CAE} = \widehat{CAO}\Rightarrow $ $A,O,E$ thẳng hàng $\Rightarrow đpcm$

Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$Gọi $H'$ là giao của $(O)$ và $AH$; vẽ bán kính $AOE'$Ta có $\widehat{CAE}=\widehat{BAH}= \frac{1}{2}$ sđ cung $BH'$ $(1)$Do $CB$ song song $H'E'$(cùng vuông $AH$) $\Rightarrow$$\frac{1}{2}$ sđ cung $BH'$=$\frac{1}{2}$ sđ cung $CE'=\widehat{CAE'}=\widehat{CAO}$ $(2)$Từ $(1)$ & $(2)$ $\Rightarrow \widehat{CAE} = \widehat{CAO}\Rightarrow $ $A,O,E$ thẳng hàng ($E', O$ cùng nằm trên nửa mp bờ $CA$) $\Rightarrow đpcm$