$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**).Đặt $a=xb$(**)$\Leftrightarrow ((x^2+x+1)(x+1))^2 \ge 36x^3\Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+6x^3+19x^2+6x+1) \ge0$ (luôn đúng)Vậy $k=8$là giá trị cần tìm

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**)Giả sử $a\ge b$ .Đặt $a=xb(x \ge 1)$(**)$\Leftrightarrow [(x^2+x+1)(x+1)]^2 \ge 36x^3 $$VT \ge(3x)^2.4x^2 \ge VP$(ok)Vậy $k=8$ là số cần tìm

Theo công thức Hê-rông$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \frac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}$$\overset{(2)}{\le} \frac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$ Nên ta chỉ cần chứng minh $xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$hay:$3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$Ko mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$Theo bdt Chebysev:$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$~~~~~~~~~~~~~~~$(1)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121614/cm-bdt $(2)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130352/bat-dang-thuc-dep-nay

Theo công thức Hê-rông$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \tfrac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}\overset{(2)}{\le} \tfrac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$Nên ta chỉ cần chứng minh $xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$$\Leftrightarrow 3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$Ko mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$Theo bdt Chebysev:$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$~~~~~~~~~~~~~~~$(1)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121614/cm-bdt $(2)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130352/bat-dang-thuc-dep-nay