|
|
giải đáp
|
BĐT
|
|
|
|
Bđt $\Leftrightarrow \frac{\sum xy}{x+z} \geq \frac{y^{2}+yz+z^{2}}{y+z} $
$\Leftrightarrow \frac{\sum xy}{x+z}-y \geq \frac{y^{2}+yz+z^{2}}{y+z}-y$
$\Leftrightarrow zx(y+z)-z^{2}(x+z)\geq 0$
$\Leftrightarrow z(xy-z^{2}) \geq 0 \rightarrow (đúng ) (x\geq y\geq z\geq 0)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$ hoặc $x=y,z=0$
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Bài này có bao nhiêu cách???
|
|
|
|
Đạo con nhà bà hàm đây ( Tìm hiểu thêm ) :D : Tg tự CM đc : $P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{81}{(x+y+z)^{2}}}$ Xét hàm : $f(t)=t^{2}+\frac{81}{t}$ $(t=(x+y+z)^{2} \in (0;1])$ $\Rightarrow f'(t)=1-\frac{81}{t^{2}}$ Lập bảng biến thiên :  $\Rightarrow Min f(t)=82 $ $( t\in (0;1])$ $\Rightarrow Min P= \sqrt{Mìnf(t)}=\sqrt{82}$ $(0<t \leq 1)$ |
|
|
|
giải đáp
|
tìm GTNN.help me
|
|
|
|
Có : $P= \frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^{2}}+y=( \frac{x}{4}+ \frac{1}{x})+2(\frac{1}{y^{2} }+\frac{y}{8}+\frac{y}{8})+ \frac{x+y}{2} \overset {AM-GM}\geq 1+2.\frac{3}{4}+2=9/2$ $(x+y \geq 4)$
Vậy $MinP=9/2 \Leftrightarrow x=y=2$
P/s : Chắc dễ quá nên 1 năm r mà k ai lm :V
|
|
|
|
giải đáp
|
Bài này có bao nhiêu cách???
|
|
|
|
Xét các vecto : $\overrightarrow{u}=(x;\frac{1}{x}) ;\overrightarrow{v}=(y;\frac{1}{y}) ; \overrightarrow{w}=(z;\frac{1}{z})$
Có : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} +\overrightarrow{w} =(x+y+z;1/x +1/y + 1/z)$
Theo t/c về độ dài của vt tổng : $|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|+|\overrightarrow{w}| \geq | \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} |$ (1)
$P \geq \sqrt{(x+y+z)^{2} +( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$
=> Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow{v} ,\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{w} $ là các vt cp , cc
$\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{u}=k_{1}\overrightarrow{v},k_{1} >0 \\ \overrightarrow{v}=k_{2}\overrightarrow{w}, k_{2} >0 \end{cases}$
Dễ thấy : $ 81(x+y+z)^{2} +( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} \geq 162$
$gt : 0<x+y+z \leq 1\Rightarrow 80(x+y+z)^{2} \leq 80 $
All $\Rightarrow P \geq \sqrt{162-80}=\sqrt{82}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1/3$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm m để hpt có nghiệm
|
|
|
|
Hpt $\Leftrightarrow \begin{cases}(x^{2}-x)(2x-y)=m\\ (x^{2}-x)+(2x-y)=1-2m \end{cases}$ Đặt : $u=x^{2}-x , u \geq -1/4 ; v=2x-y$ Giải thích: do $u=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\geq \frac{-1}{4}$
Hpt $\Leftrightarrow \begin{cases}uv=m \\ u+v=1-2m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u^{2}+(2m-1)u+m=0 (*) \\ v=1-2m-u \end{cases}$
Để hpt có nghiệm $\Leftrightarrow (*) tm u \geq -1/4$
Ta có : $(*) \Leftrightarrow m(2u+1) =-u^{2}+u\Leftrightarrow m=\frac{-u^{2}+u}{2u+1}$
Xét hàm số : $f(u)=\frac{-u^{2}+u}{2u+1}$ $( \forall u \geq -1/4)$
Có : $f'(u)=-\frac{2u^{2}+2u-1}{(2u+1)^{2}} , f'(u)=0\Leftrightarrow u=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Lập bbt $\Rightarrow m \leq \frac{2-\sqrt{3}}{2}$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT số 2
|
|
|
|
Cách 3 : Ad bđt AM-GM
Có : $P=\frac{(x+xy+y)x}{y+1}+\frac{(x+xy+y)y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}=x^{2}-y^{2}$
$= \frac{xy}{y+1}+\frac{xy}{x+1}+\frac{xy}{x+y} \leq \frac{xy}{2\sqrt{y}}+\frac{xy}{2\sqrt{x}}+\frac{xy}{2\sqrt{xy}} (bđt AM-GM)$
$=\frac{1}{2}(x\sqrt{y}+y\sqrt{x} +\sqrt{xy})$
$=> P \leq \frac{1}{2}(x\sqrt{y}+y\sqrt{x} +\sqrt{xy}) \leq \frac{1}{2}\left[ { \frac{x(y+1)}{2}+\frac{y(x+1)}{2}+\frac{x+y}{2}} \right]= \frac{3}{2} ( bđt AM-GM)$
Vậy $Max P= \frac{3}{2} \Leftrightarrow x=y=1$
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT số 2
|
|
|
|
Cách 2 : Sd chiều biến thên của hàm số
$P=3\frac{(x+y)^{2}-2xy+x+y}{xy+x+y+1}+\frac{xy}{x+y}-(x+y)^{2}+2xy$
$=\frac{1}{4}\left[ { -(x+y)^{2} +x+y+\frac{12}{x+y}+2 } \right].$ ( do $xy=3-(x+y))$
Đặt : $t=x+y \geq 2$ , Xét hàm số :
$g(t)=-t^{2}+t+\frac{12}{t}+2 trên [2;+\infty)$
$g'(t)=-2t-\frac{12}{t^{2}}+1 <0 \forall t\geq 2=> g(t) nghịch biến trên (2;+ \infty)$
Do đó $Max g(t)=g(2)=6 => Max P= 3/2 <=> x=y=1$
$[2; +\infty)$
|
|
|
|
giải đáp
|
bài bất cuối cùng
|
|
|
|
Đặt : $a=3x;b=2y;c=z$ , có :
$a+b+c=3x+2y+z, a^{2}+3b^{2}+15c^{2}=abc$
Ad bđt AM-GM : $a+b+c \geq (2a)^{1/2}(3b)^{1/3}6c^{1/6}$
$a^{2}+3b^{2}+15c^{2} \geq (4a^{2})^{1/4}(9b^{2})^{3/9}(36c^{2})^{15/36}$
Nhân 2 vế $=> (a+c+b)(a^{2}+3b^{2}+15c^{2}) \geq 36abc \Rightarrow a+b+c \geq 36$
Vậy $Min =36 \Leftrightarrow x=y=z=6$
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Cho $a,b,c$ là các số thực ko âm, chứng minh :
|
|
|
|
Bđt $<=> \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}{3} \geq 3/4 |(x-y)(y-z)(z-x)|$
$<=> \frac{(x+y+z)[(x-y)^{2} +(y-z)^{2} +(z-x)^{2}]}{6} \geq \frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|$
$Ad bđt AM-GM :=> \frac{(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}]}{6} \geq \frac{(x+y+z) \sqrt[3]{(x-y)^{2}(y-z)^{2}(z-x)^{2}}}{2}$
=> Ta CM :
$\frac{(x+y+z)\sqrt[3]{(x-y)^{2}(y-z)^{2}(z-x)^{2}}}{2} \geq \frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|$
$<=> 2(a+b+c) \geq 3\sqrt[3]{|(x-y)(y-z)(z-x)|}$
Kmttq , gs : $x \geq y\geq z $ , Ad bđt AM-GM :
$3\sqrt[3]{(x-y)(y-z)(z-x)|} \leq x-y+y-z+x-z=2x-2z \leq 2(x+y+z)$ => đpcm
Dấu = xảy ra $<=> x=y=z$
|
|