|
|
sửa đổi
|
bất đẳng thức nha!!!
|
|
|
|
Vì $ab+bc \ne0\Rightarrow ac \ne 1$ nên $2006=\frac{ab+bc}{1-ac}$Khi đó $P= \frac 2{a^2+1}-\frac{2b^2}{b^2+\frac{b^2(a+c)^2}{(1-ac)^2}}+ \frac 3{a^2+1}$$=\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{\frac{(1-ac)^2+(a+c)^2}{(1-ac)^2}}+ \frac 3{a^2+1}$$=\frac{2}{a^2+1}-\frac{2(1-ac)^2}{(a^2+1)(c^2+1)}+ \frac 3{a^2+1}$Tới đây xét hàm hay sao mình cũng ko rõ...
Vì $ab+bc \ne0\Rightarrow ac \ne 1$ nên $2006=\frac{ab+bc}{1-ac}$Khi đó $P= \frac 2{a^2+1}-\frac{2b^2}{b^2+\frac{b^2(a+c)^2}{(1-ac)^2}}+ \frac 3{c^2+1}$$=\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{\frac{(1-ac)^2+(a+c)^2}{(1-ac)^2}}+ \frac 3{c^2+1}$$=\frac{2}{a^2+1}-\frac{2(1-ac)^2}{(a^2+1)(c^2+1)}+ \frac 3{c^2+1}$Tới đây xét hàm hay sao mình cũng ko rõ...
|
|
|
|
sửa đổi
|
Kể chuyện, à thôi không kể chuyện nữa.
|
|
|
|
$(\sqrt{x^{2}+a}+x)(\sqrt{y^{2}+a}+y)=a$ $\Leftrightarrow \begin{cases}(\sqrt{x^{2}+a}+x)(\sqrt{x^{2}+a}-x)(\sqrt{y^{2}+a}+y)= a(\sqrt{x^{2}+a}-x)\\ (\sqrt{x^{2}+a}+x)(\sqrt{y^{2}+a}+y)(\sqrt{y^{2}+a}-y)=a(\sqrt{y^{2}+a} -y)\end{cases}$ $\begin{cases}a(\sqrt{y^{2}+a}-y)=a(\sqrt{x^{2}+a}-x) \\ a(\sqrt{x^{2}+a}+x)=a(\sqrt{y^{2}+a} -y)\end{cases}$ chia 2 vế cho $a$ rồi cộng vế với vế ta được $x+y=-x-y \Rightarrow 2(x+y)=0 \Rightarrow x=-y$
$(\sqrt{x^{2}+a}+x)(\sqrt{y^{2}+a}+y)=a$ $\Leftrightarrow \begin{cases}(\sqrt{x^{2}+a}+x)(\sqrt{x^{2}+a}-x)(\sqrt{y^{2}+a}+y)= a(\sqrt{x^{2}+a}-x)\\ (\sqrt{x^{2}+a}+x)(\sqrt{y^{2}+a}+y)(\sqrt{y^{2}+a}-y)=a(\sqrt{y^{2}+a} -y)\end{cases}$ $\begin{cases}a(\sqrt{y^{2}+a}+y)=a(\sqrt{x^{2}+a}-x) \\ a(\sqrt{x^{2}+a}+x)=a(\sqrt{y^{2}+a} -y)\end{cases}$ chia 2 vế cho $a$ rồi cộng vế với vế ta được $x+y=-x-y \Rightarrow 2(x+y)=0 \Rightarrow x=-y$
|
|
|
|
sửa đổi
|
BĐT
|
|
|
|
áp dụng bđt bunhiacopxki ta có $\frac{25a}{b+c}+25+\frac{16b}{a+c}+16+\frac{c}{a+b}+1=(a+b+c)(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{a+c}+\frac{1}{a+b})$$=\frac{1}{2}(b+c+a+c+a+b)(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{a+c}+\frac{1}{a+b})$$\geq \frac{(5+4+1)^{2}}{2}=50$$\Rightarrow \frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq8$ ta thấy dấu "=" k xảy ra $\Rightarrow$ đpcm
áp dụng bđt bunhiacopxki ta có $\frac{25a}{b+c}+25+\frac{16b}{a+c}+16+\frac{c}{a+b}+1=(a+b+c)(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{a+c}+\frac{1}{a+b})$$=\frac{1}{2}(b+c+a+c+a+b)(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{a+c}+\frac{1}{a+b})$$\geq \frac{(5+4+1)^{2}}{2}=50$$\Rightarrow \frac{25a}{b+c}+ \frac{16b}{a+c}+ \frac{c}{a+b} \geq 8$ ta thấy dấu "=" k xảy ra $\Rightarrow$ đpcm
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Bất đẳng thức Cho$ x,y,z>0 $. CMR: $\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+ y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})((x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{18}$
Bất đẳng thức Cho$ x,y,z>0 $. CMR: $\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+ y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})((x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2}) )}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{18}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
bất !!!!!!!!!
|
|
|
|
$A=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^{2}}+y$ $=\frac{x}{4}+\frac{1}{x}+2(\frac{1}{y^{2}}+\frac{y}{8}+\frac{y}{8})+ \frac{x+y}{2}$ $\geq 1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}$dấu"=" $\Leftrightarrow x=y=2$
$A=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^{2}}+y$ $=\frac{x}{4}+\frac{1}{x}+2(\frac{1}{y^{2}}+\frac{y}{8}+\frac{y}{8})+ \frac{x+y}{2}$ $\geq 1+\frac{3}{2}+2(cosi)$ $=\frac{9}{2}$dấu"=" $\Leftrightarrow x=y=2$
|
|
|
|
sửa đổi
|
bất !!!!!!!!!
|
|
|
|
$A=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^{2}}+y$ $=\frac{x}{4}+\frac{1}{x}+2(\frac{1}{y^{2}}+\frac{y}{8}+\frac{y}{8})+ \frac{x+y}{2}$ $\geq 2+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}$dấu"=" $\Leftrightarrow x=y=2$
$A=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^{2}}+y$ $=\frac{x}{4}+\frac{1}{x}+2(\frac{1}{y^{2}}+\frac{y}{8}+\frac{y}{8})+ \frac{x+y}{2}$ $\geq 1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}$dấu"=" $\Leftrightarrow x=y=2$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Kể chuyện ban ngày, mỗi ngày 1 câu chuyện
|
|
|
|
gt $\Leftrightarrow \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}- \frac{1}{xy}$(1) (chia 2 vế cho $x^{2}y^{2}$) đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b $ khi đó (1) TT $a+b=a^{2} +b^{2}-ab=(a+b)^{2}-3ab \geq (a+b)^{2}-\frac{3}{4}(a+b)^{2}=\frac{(a+b)^{2}}{4}$$\Rightarrow (a+b)^{2}-4(a+b) \leq0 \Leftrightarrow 0\leq a+b \leq4$ A=$a^{3} +b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+ b^{2})=(a+b)^{2}\leq 16$dấu $"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
gt $\Leftrightarrow \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}- \frac{1}{xy}$(1) (chia 2 vế cho $x^{2}y^{2}$) đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b $ khi đó (1) TT $a+b=a^{2} +b^{2}-ab=(a+b)^{2}-3ab \geq (a+b)^{2}-\frac{3}{4}(a+b)^{2}=\frac{(a+b)^{2}}{4}$$\Rightarrow (a+b)^{2}-4(a+b) \leq0 \Leftrightarrow 0\leq a+b \leq4$ A=$a^{3} +b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+ b^{2})=(a+b)^{2}\leq 16$dấu $"="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giai BPT
|
|
|
|
Ta có $4x^{2}+1\geq4x (cosi)$ $VT=\sqrt{5+5x^{2}} +|2-x| =\sqrt{x^{2} +4+4x^{2}+1}\geq \sqrt{x^{2}+4x+4} +|2-x| =|x+2|+|2-x| \geq 4$ Vậy tập nghiệm là R
Ta có $4x^{2}+1\geq4x (cosi)$ $VT=\sqrt{5+5x^{2}} +|2-x| =\sqrt{x^{2} +4+4x^{2}+1}\geq \sqrt{x^{2}+4x+4} +|2-x|$ $=|x+2|+|2-x| \geq 4$ Vậy tập nghiệm là R
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giai BPT
|
|
|
|
Ta có $4x^{2}+1\geq4x (cosi)$ $VT=\sqrt{5+5x^{2}} +|2-x| \geq \sqrt{x^{2}+4x+4} +|2-x| =|x+2|+|2-x| \geq 4$ Vậy tập nghiệm là R
Ta có $4x^{2}+1\geq4x (cosi)$ $VT=\sqrt{5+5x^{2}} +|2-x| =\sqrt{x^{2} +4+4x^{2}+1}\geq \sqrt{x^{2}+4x+4} +|2-x| =|x+2|+|2-x| \geq 4$ Vậy tập nghiệm là R
|
|
|
|
sửa đổi
|
BĐT vs GTNN
|
|
|
|
ta có $\frac{1}{a^{2}}+ \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{ab} \geq \frac{2}{\frac{(a+b)^{2}}{4}} \geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$ ta có P=$\frac{1}{(x+1)^{2}} +\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$ $\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}} \geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)}$ gt $\Leftrightarrow 3y+6\geq x^{2}+1+ y^{2}+4+ z^{1}+1\geq 2x+4y+2z$ $\Rightarrow 2x+y+2z\leq 6 \Rightarrow x+\frac{y}{2}+z\leq 3 \Rightarrow P\geq 8$ dấu "=" $\Leftrightarrowx=1; y=2 ;z=1$
ta có $\frac{1}{a^{2}}+ \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{ab} \geq \frac{2}{\frac{(a+b)^{2}}{4}} \geq \frac{8}{(a+b)^{2}}$ ta có P=$\frac{1}{(x+1)^{2}} +\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}$ $\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}} \geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^{2}}$ gt $\Leftrightarrow 3y+6\geq x^{2}+1+ y^{2}+4+ z^{2}+1\geq 2x+4y+2z$ $\Rightarrow 2x+y+2z\leq 6 \Rightarrow x+\frac{y}{2}+z\leq 3 \Rightarrow P\geq 1$ dấu "=" $\Leftrightarrow$ x=1; y=2 ;z=1
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giúp!!!!
|
|
|
|
ta có $3(a^{2}+ b^{2}+ c^{2})=(a+b+c)(a^{2}+ b^{2}+ c^{2})=a^{3}+ b^{3} +c^{3} +a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a+ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$ $a^{3}+ ab^{2}\geq2a^{2}b ,b^{3}+bc^{2}\geq 2b^{2}c, c^{3} +ca^{2}\geq 2c^{2}a$ $\Rightarrow 3(a^{2} +b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a)\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a^{2}b+ b^{2}c+c^{2}a$mà $3(a^{2}+ b^{2} +c^{2})\geq (a+b+c)^{2} =9 (theo bunhiacopxki ) \Rightarrow a^{2}+ b^{2}+ c^{2}\geq 3.$ TT cm $a^{4}+ b^{4}+ c^{4}\geq \frac{(a^{2} +b^{2} +c^{2})^{2}}{3} $ $\Rightarrow P \geq \frac{7(a^{2}+ b^{2}+c^{2} )^{2}}{3} +\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2} +c^{2}}$ $=\frac{7(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{9-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ đặt t=$a^{2} +b^{2}+c^{2} ,t\geq 3$ khi đó $P\geq \frac{7t^{2}}{3}+\frac{9t}{2}-\frac{1}{2}$ =\frac{t^{2}}{12} +\frac{9}{4t}+ \frac{9}{4t}+\frac{9t^{2}}{4}-\frac{1}{2}$ $\geq 3\sqrt[3]{\frac{t^{2}}{12}\frac{9}{4t}\frac{9}{4t}} +\frac{9.9}{4}-\frac{1}{2}=22$ dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=1$
ta có $3(a^{2}+ b^{2}+ c^{2})=(a+b+c)(a^{2}+ b^{2}+ c^{2})=a^{3}+ b^{3} +c^{3} +a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a+ ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$ $a^{3}+ ab^{2}\geq2a^{2}b ,b^{3}+bc^{2}\geq 2b^{2}c, c^{3} +ca^{2}\geq 2c^{2}a$ $\Rightarrow 3(a^{2} +b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a)\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a^{2}b+ b^{2}c+c^{2}a$mà $3(a^{2}+ b^{2} +c^{2})\geq (a+b+c)^{2} =9 (theo bunhiacopxki ) \Rightarrow a^{2}+ b^{2}+ c^{2}\geq 3.$ TT cm $a^{4}+ b^{4}+ c^{4}\geq \frac{(a^{2} +b^{2} +c^{2})^{2}}{3} $ $\Rightarrow P \geq \frac{7(a^{2}+ b^{2}+c^{2} )^{2}}{3} +\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2} +c^{2}}$ $=\frac{7(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{9-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ đặt t=$a^{2} +b^{2}+c^{2} ,t\geq 3$ khi đó $P\geq \frac{7t^{2}}{3}+\frac{9t}{2}-\frac{1}{2}$ =$\frac{t^{2}}{12} +\frac{9}{4t}+ \frac{9}{4t}+\frac{9t^{2}}{4}-\frac{1}{2}$ $\geq 3\sqrt[3]{\frac{t^{2}}{12}\frac{9}{4t}\frac{9}{4t}} +\frac{9.9}{4}-\frac{1}{2}=22$ dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=1$
|
|
|
|
sửa đổi
|
help với ^^
|
|
|
|
ta thấy $x^{4}- x^{3}+ x-1 =(x-1)(x+1)(x^{2}-x+1)$ $x^{4}+ x^{3}-x-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)$ $x^{5} - x^{4} + x^{3} - x^{2}+ x-1=(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$ do đó rút gọn P=$\frac{2}{(x^{2} +x+1)(x^{2}-x+1)} =\frac{2}{x^{4} +x^{2}+1}=\frac{2}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}}$ >0 xét hiệu $\frac{32}{9}-P=\frac{2((4x^{2}+2)^{2}+3)}{9(x^{2}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$ >0 vậy 0<P<$\frac{32}{9}$
ta thấy $x^{4}- x^{3}+ x-1 =(x-1)(x+1)(x^{2}-x+1)$ $x^{4}+ x^{3}-x-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)$ $x^{5} -x^{4} +x^{3}- x^{2}+x-1=(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$ do đó rút gọn P=$\frac{2}{(x^{2} +x+1)(x^{2}-x+1)} =\frac{2}{x^{4} +x^{2}+1}=\frac{2}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}}$ >0 xét hiệu $\frac{32}{9}-P=\frac{2((4x^{2}+2)^{2}+3)}{9( (x^{2}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}} )$ >0 vậy 0<P<$\frac{32}{9}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
help với ^^
|
|
|
|
ta thấy $x^{4}- x^{3}+ x-1 =(x-1)(x+1)(x^{2}-x+1)$ $x^{4}+ x^{3}-x-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)$ $x^{5} -x^{4} +x^{3} -x^{2}+x-1=(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$ do đó rút gọn P=$\frac{2}{(x^{2} +x+1)(x^{2}-x+1)} =\frac{2}{x^{4} +x^{2}+1}=\frac{2}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}}$ >0 xét hiệu P-$\frac{32}{9}=\frac{2((4x^{2}+2)^{2}+3)}{9(x^{ a}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$ >0 vậy 0<P<$\frac{32}{9}$
ta thấy $x^{4}- x^{3}+ x-1 =(x-1)(x+1)(x^{2}-x+1)$ $x^{4}+ x^{3}-x-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)$ $x^{5} - x^{4} + x^{3} - x^{2}+ x-1=(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$ do đó rút gọn P=$\frac{2}{(x^{2} +x+1)(x^{2}-x+1)} =\frac{2}{x^{4} +x^{2}+1}=\frac{2}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}}$ >0 xét hiệu $\frac{32}{9} -P=\frac{2((4x^{2}+2)^{2}+3)}{9(x^{ 2}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$ >0 vậy 0<P<$\frac{32}{9}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Ngôi sao chói lòa
|
|
|
|
từ hpt $\Rightarrow x^{3}+ y^{3}+ z^{3} =x^{2} +y^{2}+z^{2}$ (*) từ pt (1) $\Rightarrow x^{2}\leq1; y^{2}\leq 1; z^{2}\leq1 \Rightarrow -1\leq x,y,z\leq 1$ +) $0\leq x,y,z \leq 1$$\Rightarrow \sum_ x^{2}(x-1)\leq 0$ (*)$\Leftrightarrow \begin{cases}x=0, x=1 \\ y=0 ,y=1 \end{cases}và z=0 ,z=1.$ +) -1$\leq x,y,z \leq0$ TT như trên nhưng ta lại vì k tm ĐKVậy (x;y;z)= (0;0;1);(0;1;0);(1;0;0)
từ hpt $\Rightarrow x^{3}+ y^{3}+ z^{3} =x^{2} +y^{2}+z^{2}$ (*) từ pt (1) $\Rightarrow x^{2}\leq1; y^{2}\leq 1; z^{2}\leq1 \Rightarrow -1\leq x,y,z\leq 1$ +) $0\leq x,y,z \leq 1$$\Rightarrow \sum x^{2}(x-1)\leq 0$ (*)$\Leftrightarrow \begin{cases}x= 0;x=1\\ y= 0;y=1\end{cases}$và z=0 ,z=1. +) -1$\leq x,y,z \leq0$ TT như trên nhưng ta lại vì k tm ĐKVậy (x;y;z)= (0;0;1);(0;1;0);(1;0;0)
|
|
|
|
sửa đổi
|
help me
|
|
|
|
ta có $\sqrt{x(y+2z)} = \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3x(y+2z)} \leq \frac{\sqrt{3}}{6} (3x+y+2z)$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x(y+2z)}}\geq \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(3x+y+2z)}$ do đó $B= \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(3x+y+2z)}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(x+3y+2z)} +\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(x+2y+3z)}\geq \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{6}(6(x+y+z)} =3$ dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$
ta có $\sqrt{x(y+2z)} = \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3x(y+2z)} \leq \frac{\sqrt{3}}{6} (3x+y+2z)$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x(y+2z)}}\geq \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(3x+y+2z)}$ do đó $B\geq \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(3x+y+2z)}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(2x+3y+z)} +\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}(x+2y+3z)}\geq \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{6}(6(x+y+z)} =3$ dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$
|
|