$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$$\leq$$k.(x+y+z)$
$\leftrightarrow$$6\sqrt{xy}+6.\sqrt[3]{xyz}$$\leq$$(6k-6)x+6ky+6kz$.(1)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$6.\sqrt{xy}=3.\sqrt{x.4y}$$\leq$$\frac{3}{2}.x+6y.$
$6.\sqrt[3]{xyz}$$\leq$$\frac{x}{2}+2y+8z$.
Cộng vế vs vế ta có:$6.\sqrt{xy}+6.\sqrt[3]{xyz}$$\leq$$2x+8y+8z$(2).
Từ (1) và(2) --> $k$ nhỏ nhất $\leftrightarrow$$\begin{cases}6k-6=2 \\ 6k=8 \end{cases}$$\leftrightarrow$$k=\frac{4}{3}$