Tập xác định x>0;y>0;z>0

Nhận thấy (x;y;z)=(1;1;1) là một nghiệm của hệ pt

Gỉả sử x≠1,y≠1,z≠1

Đặt z^y=t

Khi đó hệ trở thành

   z^y.(x/y)=x

   y=x

   y^y=x

ó  t^x/t=x  (1)

      t=y

      y^y=x

Thay t=y và x=y^y vào (1) được

y^{y^(y-1)}=y^yóy^y-1=y

óy-1=1óy=2

=>x=4 ; z=±√2

Vậy hpt có 3 cặp nghiệm là (1;1;1);(4;2;√2);(4;2;-√2)

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Xét các hình thang có 4 đỉnh ở bốn cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông. Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất ấy

Đặt $X=\left(K\right)\cap BC,Y=\left(L\right)\cap BC$.

$\angle INB=\angle IMC={90}^0-\frac{\angle BAC}{2}$ (do $AMN$ cân tại $A$),

$\angle NIB=\angle AMN-\angle NBI={90}^0-\frac{\angle BAC}{2}-\frac{\angle ABC}{2}=\frac{\angle ACB}{2}=\angle ICX$. Vậy $\Delta NIB$ và $\Delta MCI$ đồng dạng, suy ra $\frac{IB}{IC}=\frac{IN}{CM}=\frac{BN}{IM}$, suy ra $\frac{I{B}^2}{I{C}^2}=\frac{BN}{CM}$ (Do $IM=IN$). Ngoài ra ta cũng dễ cm được hai tam giác $IFN$ và $EIM$ cũng đồng dạng, suy ra $\angle FIN=\angle EIM$ và $\frac{I{E}^2}{I{F}^2}=\frac{EM}{FN}\Rightarrow \frac{IB}{IC}=\frac{IF}{IE}(\ast )$.

Đến đây, ta lại có $\angle FYB=\angle FIB=\angle FIN+\angle NIB=\angle IEM+\angle ICM=\angle IXY+\angle IXE=\angle EXY$

$\Rightarrow EX||FY\Rightarrow I,L,K$ thẳng hàng.

b) Câu này ta sẽ cm $BYFQ,CXEP$ là các hình thang cân, suy ra $BY=FQ,XC=PE$. Kết hợp với $BY=XC$ sẽ có ngay $đpcm$.

Thật vậy, dễ thấy $KL$ là trục $đx$ của hình thang $FYXE$ suy ra nó là hình thang cân, tới đây dễ suy ra $BYFQ,CXEP$ là các hình thang cân. 

Ta gọi $T$ là giao điểm của tiếp tuyến chung trong của $\left(K\right),\left(L\right)$ với $BC$. Thế thì $TY.TB=TX.TC$. Ta có (dễ cm được) các cặp tam giác sau đồng dạng: $TIY,IBF$ và $TIX,ICE$. từ đó ta có các kết quả sau:

$\frac{TI}{IB}=\frac{TY}{IF},\frac{TI}{IC}=\frac{TX}{IE}$,
$\Rightarrow \frac{IB}{IC}=\frac{TY.IF}{TX.IE}$, kết hợp với $(\ast )$ suy ra $TY=TX\Rightarrow BY=CX\Rightarrow FQ=EP\left(đpcm\right)$.