Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AC$.Xét phép đối xứng trục $(d)$$S_{(d)}: D \rightarrow D'$Ta có: $AD=CD', CD=AD'$ và $\Delta ADC=\Delta AD'C$Suy ra $S_{ABCD}=S_{ABCD'}=S_{BAD'}+S_{BCD'}$.$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.AD'.\sin \widehat{BAD'}+\frac{1}{2}BC.CD'.\sin \widehat{BCD'} \leq \frac{1}{2}(AB.AD'+BC.CD')$ $=\frac{1}{2} (AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra khi ta có:$\sin \widehat{BAD'}=\sin \widehat{BCD'}=1 \Rightarrow \widehat{BAD'}=\widehat{BCD'}=90^\circ $$\Rightarrow ABCD'$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^ \circ $Do đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{BDD'}=90^ \circ $, tức là $BD \bot DD' \Rightarrow AC \bot BD$ do ($AC\parallel DD'$)Đảo lại: Nếu $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với hai đường chéo $AC \bot BD$, vì $\widehat{BDD'}=90^ \circ $ nên dễ thấy $BD'$ là một đường kính của $(O)$. Từ đó suy ra $\widehat{D'AB}=\widehat{D'CB}=90^ \circ . $Nên dấu "=" xảy ra. Vậy $S_{ABCD} \leq \frac{1}{2}(AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow ABCD$ nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AC$.Xét phép đối xứng trục $(d)$$S_{(d)}: D \rightarrow D'$Ta có: $AD=CD', CD=AD'$ và $\Delta ADC=\Delta AD'C$Suy ra $S_{ABCD}=S_{ABCD'}=S_{BAD'}+S_{BCD'}$.$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.AD'.\sin \widehat{BAD'}+\frac{1}{2}BC.CD'.\sin \widehat{BCD'} \leq \frac{1}{2}(AB.AD'+BC.CD')$ $=\frac{1}{2} (AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra khi ta có:$\sin \widehat{BAD'}=\sin \widehat{BCD'}=1 \Rightarrow \widehat{BAD'}=\widehat{BCD'}=90^\circ $$\Rightarrow ABCD'$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^ \circ $Do đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{BDD'}=90^ \circ $, tức là $BD \bot DD' \Rightarrow AC \bot BD$ do ($AC\parallel DD'$)Đảo lại: Nếu $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với hai đường chéo $AC \bot BD$, vì $\widehat{BDD'}=90^ \circ $ nên dễ thấy $BD'$ là một đường kính của $(O)$. Từ đó suy ra $\widehat{D'AB}=\widehat{D'CB}=90^ \circ . $Nên dấu "=" xảy ra. Vậy $S_{ABCD} \leq \frac{1}{2}(AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow ABCD$ nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AC$.Xét phép đối xứng trục $(d)$$S_{(d)}: D \rightarrow D'$Ta có: $AD=CD', CD=AD'$ và $\Delta ADC=\Delta AD'C$Suy ra $S_{ABCD}=S_{ABCD'}=S_{BAD'}+S_{BCD'}$.$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.AD'.\sin \widehat{BAD'}+\frac{1}{2}BC.CD'.\sin \widehat{BCD'} \leq \frac{1}{2}(AB.AD'+BC.CD')$ $=\frac{1}{2} (AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra khi ta có:$\sin \widehat{BAD'}=\sin \widehat{BCD'}=1 \Rightarrow \widehat{BAD'}=\widehat{BCD'}=90^\circ $$\Rightarrow ABCD'$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^ \circ $Do đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{BDD'}=90^ \circ $, tức là $BD \bot DD' \Rightarrow AC \bot BD$ do ($AC\parallel DD'$)Đảo lại: Nếu $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với hai đường chéo $AC \bot BD$, vì $\widehat{BDD'}=90^ \circ $ nên dễ thấy $BD'$ là một đường kính của $(O)$. Từ đó suy ra $\widehat{D'AB}=\widehat{D'CB}=90^ \circ . $Nên dấu "=" xảy ra. Vậy $S_{ABCD} \leq \frac{1}{2}(AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow ABCD$ nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AC$.Xét phép đối xứng trục $(d)$$S_{(d)}: D \rightarrow D'$Ta có: $AD=CD', CD=AD'$ và $\Delta ADC=\Delta AD'C$Suy ra $S_{ABCD}=S_{ABCD'}=S_{BAD'}+S_{BCD'}$.$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.AD'.\sin \widehat{BAD'}+\frac{1}{2}BC.CD'.\sin \widehat{BCD'} \leq \frac{1}{2}(AB.AD'+BC.CD')$ $=\frac{1}{2} (AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra khi ta có:$\sin \widehat{BAD'}=\sin \widehat{BCD'}=1 \Rightarrow \widehat{BAD'}=\widehat{BCD'}=90^\circ $$\Rightarrow ABCD'$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^ \circ $Do đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $BD'$.Suy ra $\widehat{BDD'}=90^ \circ $, tức là $BD \bot DD' \Rightarrow AC \bot BD$ do ($AC\parallel DD'$)Đảo lại: Nếu $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với hai đường chéo $AC \bot BD$, vì $\widehat{BDD'}=90^ \circ $ nên dễ thấy $BD'$ là một đường kính của $(O)$. Từ đó suy ra $\widehat{D'AB}=\widehat{D'CB}=90^ \circ . $Nên dấu "=" xảy ra. Vậy $S_{ABCD} \leq \frac{1}{2}(AB.CD+BC.AD) $Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow ABCD$ nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Ta chứng minh mệnh đề trên bằng quy nạp:Khi $n=1$, mệnh đề hiển nhiên đúngKhi $n=k+1$, ta có:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}. \frac{2k+1}{2(k+1)}=\frac{1}{\sqrt {2k+3}}.\frac{\sqrt{2k+3}}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2(k+1)}$ $=\frac{1}{\sqrt{2k+3}}.\sqrt{\frac{(2k+3)(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)^2} } $ $=\frac{1}{2k+3}.\sqrt{\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4} } $Vì $\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4}<1 $ nên từ đó suy ra: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}} $Tức là $(1)$ đúng khi $n=k+1$Vậy mệnh đề trên đúng với mọi $n$

Ta chứng minh mệnh đề trên bằng quy nạp:Khi $n=1$, mệnh đề hiển nhiên đúngKhi $n=k+1$, ta có:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}. \frac{2k+1}{2(k+1)}=\frac{1}{\sqrt {2k+3}}.\frac{\sqrt{2k+3}}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2(k+1)}$ $=\frac{1}{\sqrt{2k+3}}.\sqrt{\frac{(2k+3)(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)^2} } $ $=\frac{1}{2k+3}.\sqrt{\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4} } $Vì $\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4}<1 $ nên từ đó suy ra: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}} $Tức là $(1)$ đúng khi $n=k+1$Vậy mệnh đề trên đúng với mọi $n$.

a) Bảng phân bố tần số - tần suất b) Giá trị trung bình của vận tốc: $\overline{x}=\frac{6.39+4.40+3.41+6.42+4.43+5.44+3.45+2.47+3.48+1.49+2.50}{39} $$\Rightarrow \overline{x}=\frac{1683}{39} \approx 43,6 (km/h) $.Mốt: $M_0=39$Số trung vị: Mẫu có kích thước $39$. Số trung vị $M_e$ là số nằm ở vị trí $20$. Từ giá trị $39$ đến giá trị $42$ có $6+4+3+6=19$ số. Vậy giá trị dương thứ $20$ thuộc về giá trị $43$. Vậy $M_e=43.$c) Độ lệch trung bình: $d=\frac{1}{39}(6.|39-43,6|+4.|40-43,6|+3.|41-43,6|+6.|42-43,6|$$+4.|43-43,6|+5.|44-43,6|+2.|47-43,6|+3.|45-43,6|+3.|48-43,6|$$+3.|48-43,6|+1.|48-43,6|+1.|49-43,6|+2.|50-43,6|) $ $d=\frac{106,2}{39} \Rightarrow d \approx 2,7 $

a) Ta có: $A=(\cos 20^0+\cos 160^0 )+(\cos 40^0+\cos 140^0 )+...+(\cos 80^0+\cos 100^0 )$ $+\cos 180^0 $Các góc trong dấu ngoặc là các góc bù nhau : $20^0+160^0=180^0,...$, nên các cosin của chúng đối nhau và các tổng trong dấu ngoặc bằng $0$.Vậy $A=\cos 180^0=-1 $.b) Tương tự ta có: $B=0$.

a) Ta có: $\sin (810^0+x)=\sin (90^0+x)=\cos x $ $\cos (1260^0-x)=\cos (180^0-x)=-\cos x $ $\tan (630^0+x)=\tan (90^0+x)=-\cot x $ $\tan (1260^0-x)=\tan (180^0-x)=-\tan x $Do đó: $A=2\cos x -\cos x +(-\cot x )(-\tan x ) \Rightarrow A=1+\cos x $Vì $-1 \leq \cos x \leq 1$ với mọi $x$ , ta suy ra $A\geq 0$ với mọi $x$.b) Với $x=1935^0 \Rightarrow A=1+\cos 1935^0 \Rightarrow A=1+\cos 135^0 $$A=1-\cos 45^0 \Rightarrow A=1-\frac{\sqrt{2} }{2} $