a) $v_1=\frac{m}{2} $
    $v_2=\frac{m}{2}+\frac{1}{2}v_1      \Rightarrow  2v_2=m+v_1$
    $v_3=\frac{m}{2}+\frac{1}{2}v_2     \Rightarrow  2^2 v_3=2m+2v_2$
        ...
    $v_n=\frac{m}{2}+\frac{1}{2}v_{n-1} \Rightarrow  2_{n-1}v_n=2^{n-2}m+2^{n-2}.v_{n-1}   $
Cộng từng vế và rút gọn, ta được:
$2^{n-1}v_n=\frac{m}{2}(1+2+...+2^n)=\frac{m}{2}\left ( \frac{2^n-1}{2-1}  \right )   $
$\Rightarrow  v_n=\frac{\frac{m}{2}(2^n-1) }{2^{n-1}}      \Rightarrow  \lim v_n =\frac{m(2^n-1)}{2^n}=m $

a) $v_n=u_n-4$
$\Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}-4=\sqrt u_n +2-4=\sqrt u_n-2 =\frac{u_n-4}{\sqrt {u_n}+2} \leq  \frac{u_n-4}{3} \forall n $
Do đó  $0< v_{n+1} < \frac{1}{3} v_n  \forall n$  (chú ý rằng  $u_n>1 \forall n$)
Ta có:  $v_2 \leq  \frac{1}{3}v_1 $  và  $v_3 \leq  \frac{1}{3} v_2 \leq  (\frac{1}{3} )^2 v_1$
Bằng quy nạp, ta dễ chứng minh được: $0< v_n \leq  (\frac{1}{3} )^{n-1}v_1=4(\frac{1}{3} )^{n-1}$
Vậy  $\lim v_n=0$ vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty  }(\frac{1}{3} )^{n-1}=0 $   (đpcm)
b) Vì   $v_n=u_n-4 \Rightarrow  \lim v_n= \lim u_n -4$  hay  $0=\lim u_n -4$.
Vậy  $\lim u_n=4$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

ĐK cần: Cho $\div (u_n): a=u_1+md;  b=u_1+nd;  c=u_1+kd$
Nếu ta chọn $p=n-k; q=k-m; r=m-n$ thì ta sẽ có:
$p+q+r=0$  và $ap+bq+cr=(u_1+md)(n-k)+(u_1+nd)(k-m)+(u_1+kd)(m-n)$
                          $= u_1(n-k+k-m+m-n)+d(mn-mk+nk-mn+mk)$
                          $=u_1.0+d.0=0$
Đây chính là $3$ số $p,q,r$ cần tìm.

ĐK đủ: Trong ba số $a,b,c$ ta giả sử $c$ bé nhất sao cho:
                         $\begin{cases}p+q+r=0         (1)\\ ap+bq+cr=0      (2) \end{cases} $
Từ $(1)               \Rightarrow  q=-p-r$
Từ $(2)                 \Rightarrow   ap+b(-q-r)+cr=0$
                        $\Rightarrow  p(a-b)=r(b-c)$
                        $\Rightarrow \frac{a-b}{r}=\frac{b-c}{p} =d $
                        $\Rightarrow a=b+dr$
                        $\Rightarrow b=c+pd;  a=c+(r+p)d$
Vậy  $a,  b$  được xem lần lượt là số hạng thứ   $r+p+1; p+1$ của một cấp số cộng có số hạng đầu tiên là $c$ và công sai $d$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) Hàm số xác định với $x\neq  0, x\neq  \frac{\pi}{2}+k\pi $
Tập xác định $D$ có tính đối xứng.
          $\forall x \in D: f(-x)= \frac{-x^5-\sin(-2x)}{(-x)^3+\tan (-x)}=\frac{-x^5 +\sin 2x}{-x^3-\tan x}= \frac{x^5-\sin 2x}{x^3+\tan x}=f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) Hàm số đã cho xác định với mọi $x\in R$
Ta có:   $f(-x)=-x \sqrt[3]{-x}+\sin |-x|=x\sqrt[3]{x}+\sin |x|=f(x)$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) Hàm số xác định $\forall x \in R$
Ta có:  $f(-x)=\cos(1-2x)$
            $f(1)=\cos (-1)=\cos 1$
            $f(-1)=\cos(3)$
Nhưng $f(-1) \neq  f(1)$. Vậy hàm số đã cho không chẵn, cũng không lẻ.

Phương trình có dạng:     $\cos(3x-\frac{\pi}{4} )=\frac{\sqrt{6} }{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt[]{3} }{2}.\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2} }{2}$

                                           $=\cos\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{6}.\sin\frac{\pi}{4}$
                              hay       $\cos(3x-\frac{\pi}{4} )=\cos \frac{5\pi}{12} $
                                 $\Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}3x-\frac{\pi}{4}=   \frac{5\pi}{12}+k2\pi                 (1)  \\3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{12}+k2\pi          (2)\end{array} \right. $
Giải $(1)$ và $(2)$, ta được nghiệm:  $x=\frac{2\pi}{9}+k \frac{2\pi}{3},    x=-\frac{\pi}{18}+k \frac{2\pi}{3} $.

$1+a+a^2+...+a^n=S_{n+1}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1} $
Vế trái của đẳng thức có thể viết:
     $\left ( \frac{a_{n+1}-1}{a-1} \right )^2-a^n=\frac{(a^{n+1}-1)^2-a^n(a-1)^2}{(a-1)^2}$
      $=\frac{a_{2(n+1)}-2a_{n+1}+1-a^{n+2}+2a_{n+1}-a_n}{(a-1)^2} =\frac{a^{n+2}-1}{a-1}. \frac{a_n-1}{a-1}  $
      $= (1+a+...+ a^{n+1})(1+a+...+a^{n-1})$   (đpcm)

Từ phương trình  $(1)$, rút $x$ theo $y$  ta được:   $x=\frac{3y^2-160}{2y} $.
Đem thế vào phương trình $(2)$   ta được  phương trình trùng phương với ẩn $y$:
                                       $y^4-89y^2+1600=0$.
Phương trình trùng phương này có $4$ nghiệm:
                                $y_1=8;   y_2=-8;  y_3=  5;  y_4=-5$.
Ta tính được các giá trị tương ứng của $x$.
                            $x_1=2;  x_2=-2;  x_3=-8,5;  x_4=8,5$.
 Kết quả:   Hệ phương trình có bốn nghiệm     $(-2; -8), (2; 8), (-8,5; 5), (8,5; -5)$.