Giải phương trình

Question

Giải phương trình:

${\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} + x{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = 1 + {x^2}$

score 1 · Answer 1

Đặt

$t$ =

${\log _2}x \Leftrightarrow x = {2^t}$ Phương trình đã cho được viết lại thành (**) và ta có các tương đương

${\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} + {2^t}.{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^t} = 1 + {4^t}\left( {**} \right) \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{2t}} + {2^t}.{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^t}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t}$

$= {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} + {4^t}.{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t}$

$\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{2t}} + {4^t} = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} + {4^t}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t}.\left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - {4^t}} \right)$

$= {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^t} - {4^t}$

$\Leftrightarrow \left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - {4^t}} \right)\left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{{\left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} \right)}^t} - 1} \right)\left( {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^t} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x = {2^0} = 1$
vậy x=1