giải bất phương trình sau:

Question

Giải bất phương trình:

$\frac{1}{y}-\frac{1}{1+y}+\frac{1}{2+y}-\frac{1}{3+y}-\frac{1}{4+y}+\frac{1}{5+y}-\frac{1}{6+y}+\frac{1}{7+y}>0$

score 3 · Answer 1

Ta viết bất phương trình đã cho dưới dạng tương đương sau:

$\frac{2y+7}{y(y+7)}-\frac{2y+7}{(y+1)(y+6)}+\frac{2y+7}{(y+2)(y+5)}-\frac{2y+7}{(y+3)(y+4)}>0$
hay

$(2y+7)(\frac{1}{y^2+7y}-\frac{1}{y^2+7y+6}+\frac{1}{y^2+7y+10}-\frac{1}{y^2+7y+12}>0$
ộng các phân thức theo cặp trong dấu ngoặc ta được:

$(2y+7)(\frac{3}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)}\frac{3}{(y^2+7y+10)(x^2+7y+12)}>0$

hay

$(2y+7)\frac{4(y^2+7y)+72(y^2+7y+360}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)(y^2+7y+10)(y^2+7y+12)}>0$ (*)
Vì bất phương trình

$4(y^2+7y)+72(y^2+7y+360>0$ với mọi y nên (*) tương đương với phương trình

$\frac{2y+7}{y(y+1)(y+2)(y+3)(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)}>0$
Tức là

$y(y+1)(y+2)(y+3)(y+\frac{7}{2})(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)>0$
Áp dụng cách xét dấu của nhị thức bặc nhất

$ax+b (a\neq 0)$ ta sẽ được kết quả là hợp của tập các khoảng sau:

$(-7;-6)\cup (-5;-4)\cup (-\frac{7}{2};-3)\cup (-2;-1)\cup (0;+\infty )$

1 Đáp án