|
a) Parabol y2=4x có tiêu điểm F(1;0) và đường chuẩn x=−1 Xét điểm N(−1;a) thuộc đường chuẩn. Đường thẳng này tiếp xúc với đường thẳng kx–y+k+a=0 4(−1)2=4k(k+a) ⇔k2+ak−1=0(1) Ta
thấy ∀a, (1) luôn có nghiệm phân biệt có tích k1k2=−1. Do đó ∀N(−1;a)thuộc đường chuẩn, từ N luôn kẻ được tới
Parabol 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. b) Tiếp tuyến NT1 có
tiếp điểm T1(x1;y1) và hệ số góc k1, trong đó y1 là nghiệm kép
của (3) ứng với k=k1⇒y1=2k1⇒x1=14;y21=1k21 Tương tự
tiếp tuyến NT2 có tiếp điểm T2(x2;y2) với x2=1k22;y2=2k2. Xét các véc tơ
→FT1;→FT2 →FT1=(x1−1;y1−0)=(1k21−1;1k1)=(1−k21k21;2k1)=1k1(a;2) Do k1;k2 là nghiệm của (4) ⇒1−k21=ak1 Tương tự: →FT1=1k2(a;2) Do đó →FT1;→FT2 là 2 véc tơ cộng tuyến ⇒F;T1;T2 thẳng hàng ⇔T1T2 luôn đi qua điểm đố định F(1;0). c) Giả sử M(x0;y0) thuộc Parabol, M≠0 tức là y20=4x,x0≠0. Tiếp tuyến tại M có phương trình: y0y=2(x0+x)(5) Cho x=0, (5)⇒y=2x0y0=4x02y0=y02 là tung độ của B Cho y=0(5)⇒x=−x0=−y204 là hoành độ của A. Trung điểm I của AB có tọa độ : {xI=xA2=−y208yI=yB2=y04⇒y0=4yI⇒xI=−(4yI)28=−2y2I⇔y2I=−12xI Quỹ tích I là parabol với phương trình y2=−12x
|