hàm số liên tục

Question

Cho $f(x)$ là hàm số thực, xác định, liên tục trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$, có $f(0) > 0$ và$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx < 1} $. Chứng minh rằng, phương trình $f(x) = sinx$ có ít nhất một nghiệm trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Xét $F(x)=f(x)-sinx$.Từ giả thiết, $F(x)$ liên tục trên $[0,\frac{\pi}{2} ],F(0)=f(0)-sin0=f(0)>0$
Lại có : $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } (f(x)-sinx)dx<0\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } F(x)<0$
$\Rightarrow \exists c\in [0,\frac{\pi}{2} ]$ để $F(c)<0$
Từ đó, $F(x)=0$ có nghiệm $x\in [0,c]\subset [0,\frac{\pi}{2} ]$