tứ diện, thiết diện

Question

Cắt tứ diện

$ABCD$ bằng một mặt phẳng

$(P)$ trong mỗi trường hợp sau đây:
a)

$(P)$ song song với

$BD$ , đi qua

$M, N$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh

$AB$ và

$BC$ .
b)

$(P)$ qua

$M$ nằm trên cạnh

$AB$ và song song với hai đường thẳng

$BD, AC$ .
c)

$(P)$ song song với

$BD$ và

$AC$ , ngoài ra (P) đi qua

$M$ thuộc đoạn

$AB$ sao cho

$\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BD}.$
Xác định tính chất của thiết diện nhận được trong từng trường hợp nói trên.

score 6 · Answer 1

a)

Thiết diện là hình thang

$MFEN$ , có

$MF// NE//BD$ .
b)

Thiết diện là hình bình hành.
c) Thiết diện là hình thoi. Thật vậy, theo câu b), thiết diện

$MFEN$ là hình bình hành. Hơn nữa, ta có:

$\frac{MF}{BD}=\frac{AM}{AB} \Rightarrow MF=\frac{BD.AM}{AB} (1)$

$\frac{MN}{AC}=\frac{MB}{AB}\Rightarrow MN=\frac{AC.MB}{AB} (2)$
Theo đề bài ta lại có

$\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BD} \Leftrightarrow BD.AM=AC.MB.$ Kết hợp điều này với hai đẳng thức

$(1)$ và

$(2)$ , ta được

$MF=MN$
Vậy trong trường hợp này , thiết diện

$MNEF$ là hình thoi.

1 Đáp án