a) Với $m=-1$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-2$
Với $m \neq -1$: Phương trình có biệt thức $\Delta =6m+7 $.
Với $m=-\frac{7}{6} $: Phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-5$.
Với $m>-\frac{7}{6} $: Phương tình có hai nghiệm phân biệt: $X=\frac{m+2\pm \sqrt{6m+7} }{m+1} (m \neq -1)$.
Với $m<-\frac{7}{6} $: Phương trình vô nghiệm.
b) Thay $x_1=4$ vào PT đã cho ta được :
$16(m+1)-8(m+2)+m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{3}$
Thay $m=\frac{1}{3}$ trở lại PT ban đầu ta có : $\frac{4}{3}x^2-\frac{14}{3}x-\frac{8}{3}=0\Rightarrow x_2= - \frac{1}{2} $
c) Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2(m+2)}{m+1} \\ x_1x_2=\frac{m-3}{m+1} \end{cases}$
Do
đó : $(4x_1+1)(4x_2+1)-18=0\Leftrightarrow16x_1x_2+4(x_1+x_2)-17=0 $
$\Leftrightarrow\frac{16(m-3)}{m+1}+\frac{8(m+2)}{m+1} -17=0\Leftrightarrow m=7 $
d) Với $m \neq -1$ thì PT đã cho là PT bậc hai. Theo định lý Vi-ét ta có :
$\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2(m+2)}{m+1}=2+\frac{2}{m+1} \\ x_1x_2=\frac{m-3}{m+1} =1-\frac{4}{m+1}\end{cases}$
$\Rightarrow 2(x_1+x_2)+x_1x_2=5 $.
Khi $x_1=4$, hệ thức trên cho ta:
$2(4+x_2)+4x_2-5=0 \Rightarrow 6x_2+3=0 \Rightarrow x_2=-\frac{1}{2} $