|
Theo định lý hàm số sin ,ta có: $\begin{array}{l} a = b(1 + 2\cos 2B)\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin B(1 + 2\cos 2B)\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin B + \sin 3B - \sin B\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin 3B (1) \end{array}$ Từ $(1)$ suy ra có $2$ khả năng sau: $1.$ $A=3B$ Do mà $A=3B$ nên Dễ thấy : Vậy $AMC$ cũng là tam giác cân
$2.$ Nếu $A + 3B = {180^0}$ Khi đó ta có $A+3B=A+B+C$ $\Rightarrow C = 2B$ Kẻ $AE \bot BC$.Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $E$ suy ra $ABM$ Là tam giác cân
Ta có mà $C=2B$ nên suy ra : Ta có (đpcm) Mệnh đề đảo nói chung không đúng
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $C = {70^0},B = {20^0}$ Khi đó lấy $M$ là trung điểm $BC$ thì ta có $MB=MC=MA$ tức là tồn tại $M$ sao cho $ABM$ và $ACM$ là tam giác cân Nhưng khi đó $sinA=1$, $sin3B=\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow \sin A\neq \sin 3B \Rightarrow a \neq b(1 + 2\cos B)$ Suy ra (đpcm)
|