Số phức

Question

Tìm số phức

$Z$ sao cho

$|\frac{Z-i}{Z+3i}|=1$ và

$Z+1$ có một acgumen bằng

$-\frac{\pi}{6}$ .

score 3 · Answer 1

Từ

$|\frac{Z-i}{Z+3i}|=1\Leftrightarrow |Z-i|=|Z+3i|$

$\Leftrightarrow |(x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|$ , ở đây

$Z=x+yi$

$\Leftrightarrow x^2+(y-3)^2=x^2+(y+3)^2\Leftrightarrow \begin{cases}x\in R \\ y=-1 \end{cases}$ . Vậy

$Z=x-i$
Ta có:

$Z+1=(x+1)-i (1)$
Vì

$Z+1$ có một acgumen bằng

$-\frac{\pi}{6}$ nên

$Z+1$ có dạng:

$Z+1=r[\cos (-\frac{\pi}{6})+i\sin (-\frac{\pi}{6})]$ với

$r>0=\frac{r}{2}(\sqrt{3}-i) (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$\begin{cases}x+1=\frac{r\sqrt{3}}{2} \\ -1=-\frac{r}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}r= 2\\ x=2\sqrt{3}-1 \end{cases}$ .
Vậy

$Z=2\sqrt{3}-1-i$ là số phức cần tìm.

1 Đáp án