Bất phương trình có căn thức!

Question

Giải bất phương trình $8{x^3} + 2x < (x + 2)\sqrt {x + 1} $

Vậy thì tốt quá chứ sao nữa. Đã có trang web hỏi đáp toán cho riêng người Việt. :)
Mình thấy khác nhau ở ngay cái tên web. Học tại nhà mình thấy dễ đọc, dễ nhớ hơn..
Giống về giao diện thôi,chức năng khác nhiều,đặc biệt là tim kiếm ,ví dụ,khi tìm kiếm 1 bài toán,bạn không cần nhập đầy đủ,chỉ cần nhập 1 vài điểm key là ok,đọc hướng dẫn để biết chi tiết :D

score 5 · Answer 1

ĐIều kiện: $x\ge -1$.
Bất phương trình tương đương với:
$(2x)^3+2x<(\sqrt{x+1})^3+\sqrt{x+1} (1)$
Xét hàm: $f(t)=t^3+t,t\in\mathbb{R}$.
Ta có: $f'(t)=3t^2+1>0,\forall t \in \mathbb{R}$ .
Suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ đó: $(1) \Leftrightarrow 2x<\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x<0\\\left\{ \begin{array}{l} 2x\ge0\\ 4x^2<x+1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x<0\\ 0\le x<\frac{1}{8}(1+\sqrt{17}) \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x<\frac{1}{8}(1+\sqrt{17}) $
Kết hợp với điều kiện suy ra: $ -1\le x<\frac{1}{8}(1+\sqrt{17}) $

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks – khangnguyenthanh 03-10-12 08:16 AM

Xem qua 1 vòng thấy 1 đặc điểm rất khác biệt so với trang khác là các bạn giải bài rất nhanh,gõ công thức rất đẹp. – nguyenphuc423 21-09-12 12:19 AM

score 2 · Answer 2

ĐK: $x \geqslant - 1$
$\begin{array}
PT \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < (x + 1 + 1)\sqrt {x + 1}   \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < {(\sqrt {x + 1} )^3} + \sqrt {x + 1}   \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow f(2x) < f(\sqrt {x + 1} ),\,\,\,f(t) = {t^3} + t \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2x < \sqrt {x + 1}   \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
x < 0 \\
\left\{ \begin{array}
x \geqslant 0 \\
4{x^2} < x + 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
x < 0 \\
\left\{ \begin{array}
x \geqslant 0 \\
0 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8} \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} $
Vậy bất phương trình có nghiệm $ - 1 \leqslant x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}$