Bất đẳng thức lượng giác

Question

Cho tam giác $ABC$ nhọn , Chứng minh rằng $\sin A+\sin B+\sin C <\pi$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 9/23/2012 1:24:41 AM

Bài toán này còn có thể làm "chặt" bởi bất đẳng thức sau :
Cho tam giác $ABC$ nhọn. Chứng minh rằng $\sin A+\sin B+\sin C \le \frac{3 \sqrt 3}{2}$.
Trước hết ta chứng minh bài toán phụ sau,
Với $0< x,y < \frac{\pi}{2}$ thì $\sin x + \sin y \le 2 \sin \frac{x+y}{2}$.
Thật vậy,
$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \le 2 \sin \frac{x+y}{2}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \cos \frac{x-y}{2}=1 \Leftrightarrow x=y.$
Bây giờ áp dụng BĐT này ta có
$\begin{cases}\sin A + \sin B \le 2 \sin \frac{A+B}{2}\\ \sin C + \sin \frac{\pi}{3} \le 2 \sin \frac{C+\frac{\pi}{3}}{2} \\ 2 \sin \frac{A+B}{2}+2 \sin \frac{C+\frac{\pi}{3}}{2} \le 4 \sin \frac{A+B+C+\frac{\pi}{3}}{4}=4\sin\frac{\pi}{3} \end{cases}$
Cộng theo từng vế ba BĐT trên ta có
$\sin A+\sin B+\sin C \le 3\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3 \sqrt 3}{2}$, đây là đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow A=B=C \Leftrightarrow \triangle ABC$ đều.
Rõ ràng trong trường hợp này thì $\frac{3 \sqrt 3}{2} < \pi $ nên ta có kết luận của bài toán ban đầu.

Trả lời 23-09-12 01:24 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 26-09-12 08:19 AM

Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé! – Trần Nhật Tân 23-09-12 01:25 AM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 9/22/2012 11:11:17 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau, $\sin x < x , \forall x>0.$
Thật vậy, xét hàm số $f(x)=\sin x - x$ thì $f'(x) = \cos x -1 < 0 , \forall x>0.$ tức là hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0, + \infty).$
Từ đó với $x>0 \implies f(x) < f(0)=0 \implies \sin x - x < 0 \implies \sin x < x$ (đpcm).
Bây giờ áp dụng BĐT trên cho các góc $A, B, C >0$ thì ta có
$\begin{cases}\sin A < A \\ \sin B < B\\\sin C < C \end{cases} \implies \sin A+\sin B+\sin C <A+B+C=\pi$.

Trả lời 22-09-12 11:11 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 26-09-12 08:21 AM

Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé! – Trần Nhật Tân 22-09-12 11:13 PM