Biện luận phương trình

Question

Chứng minh rằng $x^4 - k^2x^2 + 2kx - 1 = 0$ (k là tham số) có 4 nghiệm phân biệt

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 9/24/2012 1:21:28 AM

Chúng ta đang bàn đến việc các nghiệm thực của PT.
Nhìn vào công thức $4$ nghiệm trên thì trước hết cần có $k^2-4 \ge 0 \Leftrightarrow |k| \ge 2.$
Để ý rằng muốn có $4$ nghiệm phân biệt thì các nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$ phải đôi một khác nhau.
Ta có :
Hiển nhiên $x_1 \ne x_2$.
Giả sử $x_1 = x_3\Leftrightarrow -k+\sqrt{k^2+4}= k+\sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow \sqrt{k^2+4}-\sqrt{k^2-4} = 2k $
$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ge 0 \\ -\sqrt{k^4-16}=k^2\end{cases} \implies k^2+\sqrt{k^4-16}=0$, đây là điều không thể xảy ra. Vậy $x_1 \ne x_3$.
Giả sử $x_1 = x_4\Leftrightarrow -k+\sqrt{k^2+4}= k-\sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow \sqrt{k^2+4}+\sqrt{k^2-4} = 2k $
$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ge 0 \\ \sqrt{k^4-16}=k^2\end{cases} \implies k^4-16=k^4$, đây là điều không thể xảy ra. Vậy $x_1 \ne x_4$.
Tương tự ta cũng có : $x_2 \ne x_3, x_2 \ne x_4.$
Cuối cùng, giả sử $x_3 = x_4\Leftrightarrow k+\sqrt{k^2-4}= k-\sqrt{k^2-4} \Leftrightarrow \sqrt{k^2-4} = 0
\Leftrightarrow k=\pm 2$. Suy ra $x_3 \ne x_4 \Leftrightarrow k \ne \pm 2$.
Tổng hợp các kết quả ta có $|k|>2.$

Trả lời 24-09-12 01:21 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

lời giải của anh đúng đấy, em bình chọn cho anh rùi đấy – phong8 25-09-12 08:26 PM

Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé! – Trần Nhật Tân 24-09-12 01:24 AM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 9/23/2012 11:24:04 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

PT
$\Leftrightarrow x^4-(k^2x^2-2kx+1)=0$
$\Leftrightarrow x^4-(kx-1)^2=0$
$\Leftrightarrow (x^2+kx-1)(x^2-kx+1)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x^2+kx-1=0\\x^2-kx+1=0\end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x_1=\frac{1}{2}\left ( -k+\sqrt{k^2+4}\right )\\x_2=\frac{1}{2}\left ( -k-\sqrt{k^2+4}\right )\\x_3=\frac{1}{2}\left ( k+\sqrt{k^2-4}\right )\\x_4=\frac{1}{2}\left ( k-\sqrt{k^2-4}\right )\end{matrix}} \right.$
Từ đây nhận thấy với $|k| >2$ và thì PT đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.

Trả lời 23-09-12 11:24 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Nếu bạn thấy lời giải này chính xác và có ích đối với bạn. Hãy ấn vào mũi tên bên cạnh đáp án để bình chọn( vote up ) nhé! – Trần Nhật Tân 24-09-12 01:24 AM

uh đúng bài này có 4 nghiệm – linhma06 23-09-12 11:37 PM

viet130480 · Answer 3 · 9/23/2012 11:11:56 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Phương trình bậc $n$ đương nhiên là có $n $ nghiệm ! Vấn đề là nghiệm thực hay nghiêm ảo mà thôi !
Với đề bài này $\Leftrightarrow (x^2-kx+1)(x^2+kx-1)=0$
Từ đó $\Rightarrow $nếu $k^2-4$ lớn hơn $0$ thì PT có $4$ nghiệm thực phân biệtCác trường hợp còn lại bạn sử lí nhé !!!

Trả lời 23-09-12 11:11 PM

viet130480
1

414K 186K