|
|
Vec-tơ chỉ phương của $(d)$ là $\overrightarrow{u}=(2,1,3)$.
Giả sử phương trình của $(P)$ là: $3Ax+3By+C+D=0$, với $9A^2+9B^2+C^2>0$.
Vec-tơ pháp tuyến của $(P)$ là: $\overrightarrow{n_P}=(3A,3B,C)$
Vì $(P)$ song song với $(d)$ nên: $ \overrightarrow{n_P}. \overrightarrow{u}=0$
$\Leftrightarrow 6A+3B+3C=0 \Leftrightarrow C=-(2A+B)$
Do $A(10,2,-1)\in(P)$ nên: $30A+6B-C+D=0 \Rightarrow D=-(32A+7B)$
Vậy phương trình của $(P)$ trở thành: $3Ax+3By-(2A+B)z-(32A+7B)=0$
Lấy $B(1,0,1)\in(d)$.
Ta có: $d((d),(P))= d(B,(P))=\frac{|3A-(2A+B)-(32A+7B)|}{\sqrt{9A^2+9B^2+(2A+B)^2}}$
$= \frac{|31A+8B|}{\sqrt{13A^2+10B^2+4AB}} $
$= \frac{|A-B|}{\sqrt{\displaystyle \frac{1}{75}(31A+8B)^2+\frac{14}{75}(A-7B)^2}} \le5\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $A-7B=0$, chọn: $A=7,B=1$.
Khi đó phương trình $(P)$ là: $21x+3y-15z-231=0$ hay $7x+y-5z-77=0$
|