đố các mem thêm bài ni nữa.hehe

Question

Cho 3 số thực dương $x,y,z$. thỏa mãn : $xyz=1$.
CMR: $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1 $

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/2/2012 1:23:18 AM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Cần trả +5,000vỏ sò để xem nội dung lời giải này

Trả lời 02-10-12 01:23 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-10-12 01:24 AM

Thêm 1 kỹ thuật nữa nhé :) – Trần Nhật Tân 02-10-12 01:24 AM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 10/2/2012 1:19:56 AM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Ah ha! Mình có cách đơn giản hơn nhé
Kí hiệu $\sum_{cyc}\frac{x}{x^2+2}=\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}$
$cyc$ nghĩa là xoay vòng.
Dễ thấy $\sum_{cyc}\frac{x}{x^2+2} \le \sum_{cyc}\frac{x}{2x+1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1}$
Việc còn lại là chứng minh
$\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1} \ge 1$
Do $xyz=1$ nên tồn tại $a, b, c$ sao cho $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$, như vậy
$\sum_{cyc}\frac{1}{2x+1}=\sum_{cyc}\frac{b}{2a+b}=\sum_{cyc}\frac{b^2}{2ab+b^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab}=1$

Trả lời 02-10-12 01:19 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Thanks bạn khangnguyenthanh đã vote nhé! Nhưng mình và bạn vote cho nhau thì không được tăng điểm :) – Trần Nhật Tân 02-10-12 10:32 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-10-12 01:20 AM

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 10/2/2012 1:04:12 AM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Mình chưa nghĩ ra cách nào ngắn hơn, bạn tham khảo nhé
Đặt $x+y+z=u$ và $xy+yz+zx=v$. BĐT đã cho tương đương với
\[ 4u^2+2v^2-8u-9v-2uv+15 \geq 0 \]
theo BĐT Cô-si, $u^2 \geq 3v \geq 9$. Ta xét $3$ trường hợp
$\text {Trường hợp 1:} \quad v \geq 6$
Ta có $\text{VT}=(u-v)^2+(u-3)(3u+1)+(v-3)(v-6) \geq 0$ và chúng ta xong.
$\text{Trường hợp 2:} \quad 4,5 \leq v \leq 6$
Ta có $\text{LHS}=f(u) \geq f(3)$ vì $f'(u)=8u-2v-8 \geq 8\cdot 3 - 2 \cdot 6 -8 > 0$ và $f(3)=(v-3)(2v-9) \geq 0$ theo giả thiết.
$\text{Trường hợp 3:} \quad 3 \leq v \leq 4,5$
Ta có $\text{LHS}=(u-v)^2+3u^2+v^2-8u-9v+15 \geq 3u^2+v^2-8u-9v+15$
Đặt $g(v)=3u^2+v^2-8u-9v+15$. suy ra $g'(v)=2v-9 \leq 0$ nên $g(v) \geq g\left(\frac{u^2}{3}\right)$
$g\left(\frac{u^2}{3}\right) = \frac{1}{9}(u-3)(u^3+3u^2+9u-45) \geq 0$ vì $u \geq 3$.

Tóm lại ta có ĐPCM.

Trả lời 02-10-12 01:04 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-10-12 01:09 AM