chứng minh bất đẳng thức

Question

a) Cho $x,y\in [0;1]$. Chứng minh rằng $2\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\leq 2(x-1)(y-1)+1$
b) $ \frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}+\frac{b^4+c^4}{b^2+c^2}+\frac{c^4+a^4}{c^2+a^2}\ge\ a+b+c $
c) $a, b \ge 0$.CM
$\frac{{(a + b)^2 }}{2} + \frac{{a + b}}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a $
d) $x\not= 0, y \not= 0$. CM
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 \ge 3 \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$
e)
$\sum |b+c-a| \ge \max\left\{ {\sum|a| , \sum|b-c|} \right\} $
f)$ x,y,z >0$ thỏa mãn $ x+y+z=1 $ .CM
$ \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq \frac{1}{2} $
g) $ a,b,c >0,$ $ ab+bc+ca=1 $ .CM
$ \sum \frac{x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3}{2} $
h) $(n+1)^{n+1} \le 4n^{n+1}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/5/2012 5:05:15 PM

Bình chọn tăng 11 Bình chọn giảm

Từ $ x, y \in [0;1] $ ta có thể đặt $ x = \sin a , y = \sin b $ với $ a, b \in [0, \frac{\pi}{2}] $
BĐT cần chứng minh
$ \iff 2 \cos a \cos b \le 2( 1 - \sin a )( 1- \sin b ) +1 $
$ \iff 2\cos a \cos b \le 2\sin a \sin b -2( \sin a + \sin b ) +3 $
$ \iff 2( -\cos a \cos b + \sin a \sin b ) - 2( \sin a + \sin b ) + 3 \ge 0 $
$ \iff - 2 \cos (a+b) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + 3 \ge 0 $
$ \iff 2( 2 \sin^2 \frac{a+b}{2} -1 ) - 4 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} +3 \ge 0 $
$ \iff \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} + \frac{1}{4} \ge 0 (1)$
Chú ý rằng
$ \begin{cases}
\sin \frac{a+b}{2} \ge 0 \\
0 \le \cos \frac{a-b}{2} \le 1
\end{cases}$
Do đó Vế trái $(1) \ge \sin^2 \frac{a+b}{2} - \sin \frac{a+b}{2} + \frac{1}{4} = (\sin \frac{a+b}{2} - \frac{1}{2})^2 \ge 0 = $ Vế phải $(1)$ , đây là đpcm.

Trả lời 05-10-12 05:05 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

A.Tân luôn giúp mọi người mà,có bài khó nhào zô hết – nguyenphuc423 05-10-12 09:54 PM

Cám ơn anh Trần Nhật Tân đã giúp – trankenken95 05-10-12 05:32 PM

Dùng lượng giác chứng mình BĐT ,toán học đúng là biến ảo khôn lường – nguyenphuc423 05-10-12 05:31 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 05-10-12 05:05 PM

Đức Vỹ · Answer 2 · 10/5/2012 5:10:26 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

Do $xy\in [0;1]$
Đặt $x=\sin a; y=\sin b; a,b \in [0;{\pi} ]$ khi đó BĐT đã cho tương đương với
$2\cos a.\cos b\leq 2(\sin a-1)(\sin b-1)+1$
$\Leftrightarrow   2\cos a.\cos b-2\sin a\sin b+2(\sin a+\sin b)-3\leq 0$
$\Leftrightarrow   2\cos (a+b)+4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}-3\leq 0$
$\Leftrightarrow 2.(1-2\sin^2\frac{a+b}{2} )+4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}-3\leq 0          $
$\Leftrightarrow   -1-4\sin^2\frac{a+b}{2} +4|\sin \frac{a+b}{2} |-4|\sin \frac{a+b}{2} |+4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow   -(1-2|\sin \frac{a+b}{2}|)^2-(4|\sin \frac{a+b}{2} |-4\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2})\leq 0 $ (hiển nhiên đúng) đpcm

Trả lời 05-10-12 05:10 PM

Đức Vỹ
36 1

137K 747K

Cám ơn anh Đức Vỹ đã giúp – trankenken95 05-10-12 05:32 PM

Theo mình nghĩ a,b \in [0, \pi/2] thì lúc đó vế trái mới = 2 cosa cos b. Nếu không nó chỉ bằng 2|cos a cos b| – Trần Nhật Tân 05-10-12 05:22 PM

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 10/31/2012 8:51:25 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

c) Ta có $2(a+b) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.
Do đó $2(a+b)^2 + (a+b) \geq \frac {1} {2} (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 ( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + 1) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3$, vì nó tương với $ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2( (\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 1)^2 \geq 0$.
Mặt khác
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3 = a\sqrt{a} + 3(a\sqrt{b} + b\sqrt{a}) + b\sqrt{b} \geq 4(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})$, do
$(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})^2 \geq 0$

Trả lời 31-10-12 08:51 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 10/31/2012 8:49:30 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

b) BĐT sai với $a=b=c=0.5$

Trả lời 31-10-12 08:49 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 5 · 10/31/2012 8:57:00 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

h) Với $n=1$ và $n=2$ BĐT đúng.
Với $n\geq3$ ta có $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)<3\left(1+\frac{1}{n}\right)\leq4$

Trả lời 31-10-12 08:57 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 6 · 10/31/2012 8:55:56 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

g) $ \sum \frac {x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}} {x ^ {2} + y ^ {2}} \geq \frac {3} { 2} $

Ta có $ \sum x^2 \ge \sum xy =1$
$ \sum \frac {x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4}} {x ^ {2} + y ^ {2}}= \sum (x^2 + \sum \frac {x ^ {4} } {x ^ {2} + y ^ {2}}) \ge \sum x^2+ \frac {\sum x^2} {2}= \frac {3} { 2} (\sum x^2) \geq \frac {3} { 2}$

Trả lời 31-10-12 08:55 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 7 · 10/31/2012 8:54:53 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

f) Theo BĐt Cô-si
\[\frac{x^3}{x^2+yz}=x-\frac{xyz}{x^2+yz}\geq x-\frac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=x-\frac{\sqrt{yz}}{2}\geq x-\frac{y+z}{4}\]
Suy ra
\[\sum_{cyc}\frac{x^3}{x^2+yz}\geq x+y+z-\frac{2}{4}(x+y+z)=\frac{1}{2}(x+y+z)=\frac{1}{2}\]
Dấu bằng $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.

Trả lời 31-10-12 08:54 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M