Chào cả nhà,mem mới ,cần giúp

Question

Chứng minh rằng hàm số $f(x) = \cos 32x + \sum\limits_{i = 1}^{31} {{a_i}}\cos ix$ nhận cả giá trị dương và âm $ \forall a_1, a_2,...a_{31} \in R$

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Xét hàm số
$F(x)= \frac{1}{32}\sin 32x +\sum\limits_{i = 1}^{31} {\frac{a_i}{i}}\sin ix$
Ta có $F'(x)=f(x)$
Ta thấy $F(0)=F(\pi)=0$, theo định lý Lagrange tồn tại $c \in (0, \pi)$ sao cho $F'(c)=f(c)=0$
Tức là hàm $f(x)$ tồn tại ít nhất một nghiệm. Điều này chứng tỏ $f(x)$ nhận cả giá trị dương và giá trị âm.