tích phân hay

Question

a) Cho A=$ \int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{100}dx $ và B=$ \int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{101}dx $

Tính $ \frac{A}{B}$
b) Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{e}\frac{3x\ln x+x+\ln x+3}{\sqrt{x\ln x+1} }dx $
c) Tính tích phân I = $\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} $
d) $\int\limits_{0}^{1} \frac{1+x.e^{2x}}{1+x.e^{x}} dx$
e) Tính tích phân: $I=\int\limits_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx$
f) Tính : $I = \int\limits_1^e {x\ln^2xdx} $
g) $ \int \frac{dx}{2+\sin x-2\cos x} $

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/31/2012 11:07:07 AM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

d) http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113856/tinh-tich-phan

Trả lời 31-10-12 11:07 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 10/31/2012 11:05:09 AM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

g)
$2+\sin x-2\cos x=2(1-\cos x)+\sin x=2\cdot 2\sin ^ 2 \frac {x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$,

$ \int \frac{dx}{2+\sin x-2\cos x} $

$=\int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\left(2\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)}\ dx$

$=\int \frac{1}{2\tan \frac{x}{2}\left(2\tan \frac{x}{2}+1\right)}\left(2\tan \frac{x}{2}\right)'dx$

$=\int \left(\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}}-\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}+1}\right)\left(2\tan \frac{x}{2}\right)'dx$

$=\ln \left|\frac{\tan \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}+\frac 12}\right|+C.$

Trả lời 31-10-12 11:05 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 10/31/2012 11:03:15 AM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

f) http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/111756/tich-phan

lịch sử

Sửa 31-10-12 11:03 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trả lời 31-10-12 11:02 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 10/31/2012 11:03:39 AM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

e )
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113132/tinh-tich-phan

lịch sử

Sửa 31-10-12 11:03 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trả lời 31-10-12 11:00 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 5 · 10/31/2012 10:59:24 AM

c) Thực chất bài toán này là trường hợp cụ thể của bài toán tổng quát sau đây.
Cho $f$ liên tục trên $[0;\pi ]$. Ta có : $\int\limits_{0}^{\pi } xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f (\sin x) dx.$
Thật vậy,
Đặt $t = \pi -x \Rightarrow dt = -dx$
$\Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi }xf(\sin x)dx = - \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0}(\pi - t)f(\sin t)dt = \int\limits_{0 }^{\frac{\pi}{2}}(\pi -x)f(\sin x)dx $
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi}x.f(\sin x)dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }xf(\sin x)dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi}xf(\sin x)dx$
$= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }xf (\sin x)dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }(\pi -x)f(\sin x) dx$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi } xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx.$
Do đó,
$ I =\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} =\int\limits_0^\pi x{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx}= \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x - 4}}dx} $
Đặt $\cos x = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}
\sin xdx = - dt \\
x = 0:t = 1 \\
x = \frac{\pi}{2} :t = 0 \\
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = -\pi \int\limits_1^{0} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 4}}} = \pi\int\limits_{0}^1 {\frac{{dt}}{{(t - 2)(t + 2)}}} = \frac{\pi }{4}\ln \left| {\frac{{t - 2}}{{t + 2}}} \right|\left| \begin{array}
{\text{ }}1 \\
0 \\
\end{array} \right.$$ =\boxed{\displaystyle - \frac{{\pi \ln 3}}{4}}$

Trần Nhật Tân · Answer 6 · 10/31/2012 10:57:59 AM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b) $I=\int\limits_{1}^{e}\frac{3x\ln x+x+\ln x+3}{\sqrt{x\ln x+1} }dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{2(x\ln x+1)+\ln x+x+\ln x+1}{\sqrt{x\ln x+1} }dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2\sqrt{x\ln x+1}+\frac{(\ln x +1)(x+1)}{\sqrt{x\ln x+1} }} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2\sqrt{x\ln x+1}+(x+1)\frac{\ln x +1}{\sqrt{x\ln x+1} }} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)'\sqrt{x\ln x+1}+(x+1)\sqrt{x\ln x+1}'} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)'\sqrt{x\ln x+1}+2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}'} \right]dx $
$I=\int\limits_{1}^{e}\left[ {2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}} \right]'dx $
$I= {2(x+1)\sqrt{x\ln x+1}} |_1^e $
$I=\boxed{\displaystyle{2\sqrt[3]{(1+e)^2}-4}} $

Trả lời 31-10-12 10:57 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 7 · 10/6/2012 7:37:32 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Bài toán của bạn rất hay, mình tổng quát thành bài sau
Tính $\frac AB$ , với $A=\int_{0}^{1}({1-x^{n}})^{m}\ \mathrm{dx}\ \ ,\ \ B=\int_{0}^{1}({1-x^{n}})^{m+1}\ \mathrm{dx}$ và $\{m,n\}\subset \mathbb N^*$ .
$\left\{\begin{array}{ccc}
u(x)=\left(1-x^n\right)^{m+1} & \implies & u'(x)=-n(m+1)x^{n-1}\left(1-x^n\right)^m\\\\
v'(x)=1 & \implies & v(x)=x\end{array}\right|$ $\implies$
$B=\int_{0}^{1}({1-x^{n}})^{m+1}dx =$ $\left. x\left(1-x^n\right)^{m+1}\right|_0^1 +n(m+1)\cdot \int x^{n}\left(1-x^n\right)^m dx=$
$n(m+1)\cdot\int \left[1-\left(1-x^{n}\right)\right]\left(1-x^n\right)^m\ dx\implies$ $B=n(m+1)\cdot (A-B)$
$\implies \frac AB=1+\frac {1}{n(m+1)}$

Trả lời 06-10-12 07:37 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hay quá a.Tân ơi! – taysobavuong94 06-10-12 07:50 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 06-10-12 07:38 PM

Trần Nhật Tân · Answer 8 · 10/6/2012 3:27:01 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta được
$B=\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{101}dx=\left[x \cdot ({1-x^{50}})^{101}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}x \cdot 101({1-x^{50}})^{100}(-50) x^{49}\ dx$
$B = 0 + 50 \cdot 101 \int_{0}^{1} x^{50}({1-x^{50}})^{100}\ dx$
$B = -5050 \left[\int_{0}^{1}(1- x^{50})({1-x^{50}})^{100}\ dx-\int_{0}^{1}({1-x^{50}})^{100}\ dx\right]$
$B = -5050 \cdot B + 5050 \cdot A$
$\implies 5050 \cdot A = 5051 \cdot B$
Do đó $ \frac{A}{B}=\frac{5051}{5050} $.

lịch sử

Sửa 06-10-12 03:27 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trả lời 06-10-12 03:26 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 06-10-12 07:38 PM