Tính hộ mình với

Question

$A=\frac{1}{2\sin10^o}-2\sin70^o$
$B=\sin^4\frac{\pi}{16}+\sin^4\frac{3\pi}{16}+\sin^4\frac{5\pi}{16}+\sin^4\frac{7\pi}{16}$
$C=\tan^610^o+\tan^630^o+\tan^670^o$

score 6 · Answer 1

Ta có: $\tan^2 30^ \circ =\tan^2 150^\circ=\tan^2 210^\circ=\frac{1}{3}$ chứng tỏ rẳng $x_1={10^ \circ }; x_2={50^ \circ }; x_3={70^ \circ }$ là nghiệm của phương trình:
$\tan^2 3x=\frac{1}{3}$ hay $(\frac{3\tan x-tan^3 x}{1-3\tan^2 x})^2=\frac{1}{3}$
$3\tan^6 x-27\tan^4x+33\tan^2x-1=0$
Hay $3X^3-27X^2+33X-1=0$ ( với $X=\tan^2x)$ có ba nghiệm là $\tan ^2{10^ \circ }; \tan ^2{50^ \circ }; \tan ^2{70^ \circ }$
Theo định lí Viet ta có: $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=9 \\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=11\\x_1x_2x_3=\frac{1}{3} \end{cases}$
Áp dụng công thức :
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3+3(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc$
Suy ra $C=433$

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Áp dụng công thức $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ và $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ đối với các số hạng của tổng B ta có:
$B=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{8}+\cos\frac{3\pi}{8}+\cos\frac{5\pi}{8}+\cos\frac{7\pi}{8})+\frac{1}{8}(\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{3\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{7\pi}{4})$
Các tổng trong dấu ngoặc đều bằng 0, vì:
$\cos\frac{\pi}{8}=-\cos\frac{7\pi}{8}; \cos\frac{3\pi}{8}=-\cos\frac{5\pi}{8}; \cos\frac{\pi}{4}=-\cos\frac{3\pi}{4}; \cos\frac{5\pi}{4}=-\cos\frac{7\pi}{4}$
Vậy ta có ngay: $B=\frac{3}{2}$

score 5 · Answer 3

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Áp dụngcông thức $\sin x\sin y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]$ ta có thể biến đổi như sau:
$A=\frac{1-4\sin {10^ \circ }\sin {70^ \circ }}{2\sin {10^ \circ }}=\frac{1-2(c{\rm{os6}}{0^ \circ } - c{\rm{os8}}{0^ \circ )}}{2\sin {10^ \circ }}=\frac{{2\cos {{80}^ \circ }}}{{2\cos {{80}^ \circ }}}$
Do đó: $\frac{1}{{2\sin {{10}^ \circ }}} - 2\sin {70^ \circ }=1$