Phương trình lôgarit

Question

a) Giải phương trình
$\log_{5x+9}(x^2 + 6x + 9) + \log_{x+3}(5x^2 + 24x + 27) = 4$
b) $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 (1)\\ 3\log_9(9x^2)-\log_3 y^3=3 (2) \end{array} \right.$
c) $\log_{2x-1}(2x^2+x-1)+\log_{x+1}(2x-1)^2=4$.
d) $\log_2^2(x+1)-6\log_2\sqrt{x+1}+2=0$
e) $ \left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt{x^2 - 2x + 2} = 3^{y-1} +1\\ y +\sqrt{y^2 - 2y +2} = 3^{x-1} +1\end{array} \right. $
f) $\begin{array}{l}
1)\,\,\left( {2 + \sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \right)\left( {\frac{2}{x} - 1} \right) \le \left( {\sqrt {14x - 2{x^2} - 24} + 2} \right){\log _x}\frac{2}{x}\\
\\2)\,\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + x + \sqrt {10x - 2{x^2} - 12} + 3{\log _4}\frac{3}{x} \ge 3
\end{array}$
g) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm $\log_5(5^x+1).\log_{25}(5^{x+1}+5)=2m+1$
h) $\log _{3}\sqrt{x^{2}-3x+2}+\frac{1}{5}^{3x-x^{2}-1}=2$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/31/2012 11:30:11 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

h) Điều kiện: $x^2-3x+2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x>2\\x<1 \end{array} \right.$
Phương trình tương đương với:
$\displaystyle\frac{1}{2}\log_3(x^2-3x+2)+\left(\frac{1}{5}\right)^{3x-x^2-1}=2$
Đặt: $x^2-3x+2=t$, phương trình trở thành:
$\displaystyle\frac{1}{2}\log_3t+\left(\frac{1}{5}\right)^{1-t}=2$
Xét hàm: $\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\log_3t+\left(\frac{1}{5}\right)^{1-t},t>0$
Ta có: $\displaystyle f'(t)=\frac{1}{2t\ln3}-\left(\frac{1}{5}\right)^{1-t}\ln\left(\frac{1}{5}\right)>0,\forall t>0$
Suy ra $f(t)=2$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(t)=2$ có nghiệm rất xấu. $t\approx 1,383045303$

Trả lời 31-10-12 11:30 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 10/31/2012 11:29:39 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

g) Ta có:
$\log_5(5^x+1).\log_{25}(5^{x+1}+5)=2m+1$
$\Leftrightarrow \log_5(5^x+1).\frac{1}{2}(\log_5(5^x+1)+1)=2m+1$
Đặt $t=\log_5(5^x+1)$ thì suy ra $t>0$.
Phương trình trở thành: $t(t+1)=2(2m+1)$
$\Leftrightarrow m=\frac{t^2+t-2}{4}$
Xét hàm: $f(t)= \frac{t^2+t-2}{4}$ với $t>0$
ta có: $f'(t)=\frac{2t+1}{4}>0,\forall t>0$
Suy ra: $m>f(0)=\frac{-1}{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với: $m>\frac{-1}{2}$

Trả lời 31-10-12 11:29 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 10/31/2012 11:28:21 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

f2) Trước hết cần đk
$\begin{cases}x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ 10x - 2{x^2} - 12 \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow $ $x=2$ hoặc $x=3$.
Với $x=2$. BPT $\Leftrightarrow 2 + 3{\log _4}\frac{3}{2} \ge 3\Leftrightarrow $, thỏa mãn.
Với $x=3$. BPT $\Leftrightarrow 3 + 3{\log _4}\frac{3}{3} \ge 3\Leftrightarrow $, thỏa mãn.

Trả lời 31-10-12 11:28 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 10/31/2012 11:27:31 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

f1)
Trước hết cần đk
$\begin{cases}x^2 - 7x + 12 \ge 0 \\ 14x - 2{x^2} - 24 \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow $ $x=4$ hoặc $x=3$.
Với $x=4$. BPT $\Leftrightarrow 2 \left( {\frac{2}{4} - 1} \right) \le2{\log _4}\frac{2}{4}$, thỏa mãn.
Với $x=3$. BPT $\Leftrightarrow 2 \left( {\frac{2}{3} - 1} \right) \le2{\log _3}\frac{2}{3}$, không thỏa mãn.

Trả lời 31-10-12 11:27 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 5 · 10/31/2012 11:24:54 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

e) Bạn xem tại đây nhé
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114195/he-pt-logarit

Trả lời 31-10-12 11:24 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 6 · 10/31/2012 11:22:01 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

d) Điều kiện: $x> -1$
Phương trình tương đương với:
$\log_2^2(x+1)-3\log_2(x+1)+2=0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_2(x+1)=1\\ \log_2(x+1)=2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+1=2\\ x+1=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1\\ x=3 \end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là : $x\in\{1;3\}$.

Trả lời 31-10-12 11:22 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 7 · 10/31/2012 11:19:41 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

c) Điều kiện: $x>\frac{1}{2} $ và $x\neq 1.$
Phương trình đã cho tương đương với
$\log_{2x-1}(2x-1)(x+1)+\log_{x+1}(2x-1)^2=4$
$\Leftrightarrow 1+\log_{2x-1}(x+1)+2\log_{x+1}(2x-1)=4$
Đặt $t=\log_{2x-1}(x+1)$, ta có PT $\Leftrightarrow t+\frac{2}{t}=3\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t = 2\end{array} \right. $
* Với $t=1\Rightarrow \log_{2x-1}(x+1)=1\Leftrightarrow 2x-1=x+1\Leftrightarrow x=2.$
* Với $t=2\Rightarrow \log_{2x-1}(x+1)=2\Leftrightarrow (2x-1)^2=x+1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \text{ ( loại)}\\x=\frac{5}{4} \text{(thỏa mãn) } \end{array} \right.$
Nghiệm của phương trình là: $x=2$ và $x=\frac{5}{4}. $

Trả lời 31-10-12 11:19 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 8 · 10/31/2012 11:18:10 PM

b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x\ge 1\\0< y\le2 \end{array} \right.$.
Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1\\3(1+\log_9(x^2))-3\log_3y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \\ \log_3x=\log_3y \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ \sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ 1+2\sqrt{(x-1)(2-x)}=1 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y\\ (x-1)(2-x)=0 \end{array} \right.$
                                                               $\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l} x=y=1\\ x=y=2 \end{array} \right.$      (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ là: $(x,y)\in\{(1;1),(2;2)\}$

Trần Nhật Tân · Answer 9 · 10/7/2012 1:59:21 PM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

$\log_{5x+9}(x^{2}+6x+9)+\log_{x+3}(5x^{2}+24x+27) = 4 $
$2\log_{5x+9}{(x+3)}+\log_{x+3}{(5x+9)(x+3)}=4$
$2\frac{\log {(x+3)}}{\log {(5x+9)}}+\frac{\log {(5x+9)(x+3)}}{\log {(x+3)}}=4$
$2\frac{\log(x+3)}{\log (5x+9)}+\frac{\log(5x+9)+\log (x+3)}{\log (x+3)} =4$
$2\frac{\log (x+3}{\log (5x+9)}+\frac{\log (5x+9)}{\log (x+3)}+1 =4$
Đặt $a=\frac{\log {(x+3)}}{\log {(5x+9)}}$. Suy ra, $2a+\frac{1}{a}=3\Leftrightarrow 2a^2-3a+1=0\Leftrightarrow (2a-1)(a-1)=0$ và $a=\frac{1}{2}$ hoặc $a=1$.

Nếu $a=\frac{1}{2}$, thì
$\frac{\log {(x+3)}}{\log {(5x+9)}}=\frac{1}{2}$.
$2\log {(x+3)}=\log {(5x+9)}$
$\log {(x^2+6x+9)}=\log {(5x+9)}$
$x^2+6x+9=5x+9$
$x^2+x=0$
$x=-1$ và $x=0$

Nếu $a=1$, thì
$\frac{\log {(x+3)}}{\log {(5x+9)}}=1$.
$\log {(x+3)}=\log {(5x+9)}$
$x+3=5x+9$
$x=-\frac{3}{2}$
Vậy $\boxed{x=-1}$, $\boxed{x=0}$, $\boxed{x=-\frac{3}{2}}$

Trả lời 07-10-12 01:59 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 07-10-12 02:16 PM