Hàm ngược các bạn ơi

Question

Giải phương trình : $x \arcsin x^2 + 2\sqrt{1-x^2}\arcsin x = 2x $

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/13/2012 8:16:22 PM

Không có một công thức cụ thể sơ cấp nào biểu diễn được chính xác nghiệm của phương trình siêu việt trên. Dưới đây là những tìm ra của mình.
Nhận thấy $x=0$ là một nghiệm của PT. Với $x \ne 0$ thì
PT $\Leftrightarrow \arcsin x^2 + \frac{2\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{x} - 2=0$
Đặt $f(x)= \arcsin x^2 + \frac{2\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{x} - 2$
Ta thấy rằng $f(x)=f(-x)$ nên $f$ là hàm chẵn và đồ thị của nó đối xứng nhau qua $Oy$.
Kiểm tra rằng $f'(x)=0$ có tối đa hai nghiệm khác $0$ nên $f(x)=0$ có tối đa hai nghiệm.
Và nếu muốn có một cách để tính xấp xỉ nghiệm đúng đến nhiều chữ số sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân. Ta có thể sử dụng phương pháp Newton-Raphson http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method như sau
$f(x)= \arcsin x^2 + \frac{2\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{x} - 2$
Ta thu được công thức truy hồi
$x_{n+1}=x_n−\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} (n \in \mathbb{N})$
Từ đó.
Trong đó ta xuất phát từ $x_0=\pm 1$, và cho $n$ đủ lớn và ta tính được nghiệm gần đúng $x \approx \pm0, 90303214$.