Vì $\sqrt{f(x)-(f(x))^{2}}\geq 0$, suy ra $f(x+a)\geq \frac{1}{2}$ hay $f(x)\geq \frac{1}{2}$.
Bình phương đẳng thức, ta được:
$(f(x+a))^{2}-f(x+a)+\frac{1}{4}=f(x)-(f(x))^{2}$, tương đương với:
$|f(x)-\frac{1}{2}|=\sqrt{f(x+a)-(f(x+a))^{2}}$. (*)
Thay $x$ bới $x+a$:
$f(x+2a)-\frac{1}{2}=\sqrt{f(x+a)-(f(x+a))^{2}}$.
Từ (*) và áp dụng $f(x)\geq \frac{1}{2}$, ta được: $ f(x)-\frac{1}{2}=f(x+2a)-\frac{1}{2} $, hay $f(x)=f(x+2a)$
Suy ra: $f$ tuần hoàn.