bài này nữa ^^

Question

$\begin{cases}2x+1=y^3+y^2+y \\ 2y+1=z^3+z^2+y\\2z+1=x^3+x^2+x \end{cases}$

score 7 · Answer 1

Xét hàm: $f(t)=t^3+t^2+t$
Ta có: $f'(t)=3t^2+2t+1>0,\forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra: $f$ là hàm tăng trên $\mathbb{R}$
Không mất tính tổng quát giả sử: $x=\max\{x,y,z\}$
Ta có:
$x\ge y\Rightarrow 2x+1\ge2y+1$
            $\Rightarrow y^3+y^2+y\ge z^3+z^2+z$
            $\Rightarrow y\ge z$
            $\Rightarrow 2y+1\ge2z+1$
            $\Rightarrow z^3+z^2+z\ge x^3+x^2+x$
            $\Rightarrow z\ge x\Rightarrow x=y=z$
Từ đó: $x^3+x^2-x-1=0$
        $\Leftrightarrow (x+1)^2(x-1)=0$
        $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1\\x=-1 \end{array} \right.$
Vậy: $(x,y,z)\in\{(1;1;1),(-1;-1;-1)\}$

ohz, không phải là chưa học, cũng từng làm 1 số bài rồi, mình chỉ thắc mắc là lấy: 3t^2 (cộng) 2t (cộng) 1 ở đâu ra thôi – thanhnhan97gl 13-11-12 09:39 PM

Hình như bạn thanhnhan97gl chưa học đạo hàm thì phải. – khangnguyenthanh 12-11-12 11:06 PM

Cho mình hỏi tại sao lại từ hàm số f ta lại suy ra được hàm số f' vậy – thanhnhan97gl 12-11-12 10:42 PM

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

xét hàm số: $f(t)=t^3+t^2+t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(y)=y^3+y^2+y\\ f(z)=z^3+z^2+z\\ f(x)=x^3+x^2+x \end{array} \right.$
$D=R\Rightarrow $ Với mọi $t_{1},t_2\in D$, Giả sử $t_1\neq t_2$
Ta có:$\frac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}=\frac{[(t_1+t_2)^2+(t_1+1)^2+(t_2+1)^2]}{2}>0$
$\Rightarrow f(t)$ tăng trên $R$
Không mất tính tổng quát, giả sử :$x$ là số lớn nhất
$\Rightarrow x\geq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\Rightarrow 2z+1\geq 2x+1\Leftrightarrow z\geq x\Leftrightarrow f(z)\geq f(x)\Leftrightarrow 2y+1\geq 2z+1\Leftrightarrow y\geq z$
$\Rightarrow x\geq y\geq z\Rightarrow x=y=z$
Từ phương trình trong hệ ta có:$2x+1=x^3+x^2+x\Leftrightarrow (x+1)^2(x-1)\Leftrightarrow x=1hoặc $x=-1$
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
(x;y;z)=(1;1;1);(-1;-1;-1)