|
|
Giả sử $\Delta ABC$ nội tiếp $(O,R)$, $I$ là trung điểm cung $BC$ chứa điểm $A$ và đặt $\widehat{BAC}=\alpha$.
Trên tia đối của tia $AB$ đựng điểm $D$ sao cho $AD=AC$. Khi đó $\widehat{BDC}=\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}\widehat{BIC}$, suy ra $D\in (I,IB)$.
Ta suy ra: $AB+AC=BD\leq 2BI$. Khi đó:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin \alpha \leq \frac{1}{2}BI^2\sin \alpha=2R^2\cos ^2\frac{\alpha }{2}\sin \alpha=4R^2\cos ^3\frac{\alpha }{2}\sin \frac{\alpha}{2}$.
Ta có $\cos ^3\frac{\alpha }{2}\sin \frac{\alpha}{2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{16}$. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\alpha =60^0$.
Tóm lại $\Delta ABC$ đạt diện tích lớn nhất khi và chỉ khi $\Delta ABC$ đều.
|