Một bài toán hệ phương trình ba ẩn

Question

Giải hệ phương trình:

\begin{cases} x+y=3z \\ x^2+y^2=5z \\ x^3+y^3=9z \end{cases}

score 4 · Answer 1

Ta có
$x^3+y^3=(x^2+y^2)(x+y)-xy(x+y)=(x^2+y^2)(x+y)-\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}(x+y)$
$\Leftrightarrow 9z=15z^2-3z\frac{9z^2-5z}{2}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} z=0\\ z=2/3 \\z=1\end{matrix}} \right.$
Thay trở lại hệ ta được các nghiệm
$(x,y,z) \in \left\{ {(0,0,0);(1,2,1);(2,1,2);\left (\frac{1}{3}\left ( 3+\sqrt 6 \right ),\frac{1}{3}\left ( 3-\sqrt 6 \right ),2/3 \right );\left (\frac{1}{3}\left ( 3-\sqrt 6 \right ),\frac{1}{3}\left ( 3+\sqrt 6 \right ),2/3 \right )} \right\}$

lịch sử

hình như đáp án nhầm thì phải, nghiệm (2;1;2) phải được sửa bằng (2;1;1) chứ – thanhnhan97gl 12-11-12 10:21 PM

score 6 · Answer 2

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Ta có:
$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{9z^2-5z}{2}$
Từ đó suy ra:
$(x+y)^3-3xy(x+y)=9z$
$\Leftrightarrow 27z^3-9z\frac{9z^2-5z}{2}=9z$
$\Leftrightarrow 3z^3-5z+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z=0\\z=1\\z=\frac{2}{3} \end{array} \right.$
*) Với $z=0$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ xy=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=0$
*) Với $z=1$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=3\\ xy=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2;y=1\\ x=1;y=2 \end{array} \right.$
*) Với $z=\frac{2}{3}$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=2\\ xy=\frac{1}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{3+\sqrt6}{3};y=\frac{3-\sqrt6}{3}\\x=\frac{3-\sqrt6}{3};y=\frac{3+\sqrt6}{3} \end{array} \right.$