Giải phương trình

Question

$x^{3} - x -3=2\sqrt[3]{6x-3x^{2}}$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 11/2/2012 9:32:18 AM

Bài này nghiệm không đơn giản nên mình đưa ra cách giải như sau
PT $\Leftrightarrow (x^3 - x -3)^3=8(6x-3x^2)\Leftrightarrow (x^3 - x -3)^3-8(6x-3x^2)=0$
$\Leftrightarrow x^9-3x^7-9x^6+3x^5+18x^4+26x^3+15x^2-75x-27=0$
$\Leftrightarrow (x^3-3x-1)(x^6-8x^3+3x^2-6x+27)=0$
Kiểm tra rằng PT $x^6-8x^3+3x^2-6x+27=(x^3-4)^2+3(x-1)^2+8>0$.
Nên $x^3-3x=1 (1)$.
Nếu $|x| >2$ thì $|x|(|x|^2-3) >1$. Vô lý với (1).
Với $|x| \le 2$ thì đặt $x=2\cos \alpha$ và $(1)\Leftrightarrow 4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha=1/2\Leftrightarrow \cos 3\alpha=1/2$
$\iff 3\alpha=\pm{\pi\over 3}+2k\pi\iff \alpha=\pm{\pi\over 9}+{2k\pi\over 3},k\in\mathbb{Z}$
Vậy $x\in\left\{2\cos{\pi\over 9},2\cos{5\pi\over 9},2\cos{7\pi\over 9}\right\}$.

lịch sử

Sửa 02-11-12 09:32 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trả lời 02-11-12 01:12 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

đúng rồi, cảm ơn bạn Trần Nhật Tân – thanhnhan97gl 06-11-12 09:30 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-11-12 01:13 AM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 11/2/2012 9:39:09 AM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

$\textbf{Cách 2}$
Đặt $a=\sqrt[3]{6x-3x^2}$ ta được hệ

$\begin{eqnarray}x^3-x-3 &=& 2a\\6x-3x^2 &=& a^3\end{eqnarray}$

Cộng theo từng vế ta có

$x^3-3x^2+5x-3=a^3+2a (1)$

$\Leftrightarrow (x-1)^3+2(x-1)=a^3+2a$

Đặt $y =x-1$ ta được

$y^3+2y=a^3+2a$

$\Leftrightarrow (y-a)(y^2+ay+a^2+2)=0$
Dễ thấy $y^2+ay+a^2+2>0\Rightarrow y=a\iff a=x-1$

Từ $(1)$ suy ra $x^3-x-3=2x-2\iff x^3-3x=1$

Đặt $x=2t$ ta có

$8t^3-6t=1\iff 4t^3-3t={1\over 2}$

Suy ra tồn tại $\phi$ thỏa mãn $t=\cos\phi$, do đó

$\cos 3\phi={1\over 2}\iff 3\phi=\pm{\pi\over 3}+2k\pi\iff \phi=\pm{\pi\over 9}+{2k\pi\over 3},k\in\mathbb{Z}$

Và $x=2\cos\phi=2\cos\left(\pm{\pi\over 9}+{2k\pi\over 3}\right)$,

Vậy $x\in\left\{2\cos{\pi\over 9},2\cos{5\pi\over 9},2\cos{7\pi\over 9}\right\}$.

Trả lời 02-11-12 09:39 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 02-11-12 09:39 AM