|
|
Ta có:
\[ a=\left| z+\frac{1}{z} \right| \geq |z|-\left| \frac{1}{z}\right| \]
\[ \Rightarrow |z|^2-a|z|-1\leq 0 \]
\[ \Rightarrow |z|\leq \frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2} \]
Ta cũng có:
\[ a=\left| z+\frac{1}{z} \right| \geq \frac{1}{|z|}-|z| \]
\[ \Rightarrow |z|^2+a|z|-1\geq 0\]
\[ \Rightarrow |z|\geq \frac{\sqrt{a^2+4}-a}{2}\]
Vậy $\max |z|=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$, đạt được khi và chỉ khi $a=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}i$; $\min |z|=\frac{\sqrt{a^2+4}-a}{2}$, đạt được khi và chỉ khi $z=\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}i$.
|