hình học không gian

Question

hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SA=a, SA vuông góc với đáy ,mp$ (\alpha) $qua A vuông góc với SC.tính diện tích thiết diện giữa $(\alpha) $với hình chóp.

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 10/30/2012 9:17:21 PM

Trong mp(SAC) kẻ AC' vuông góc với SC (1)
Trong mp(SAB) kẻ AB' vuông góc với SB. Lại có: BC vuông góc với (SAB)
=> AB' vuông góc với (SBC) => AB' vuông góc với SC (2)
Trong mp(SAD) kẻ AD' vuông góc với SD. Lại có: DC vuông góc với (SAD)
=> AD' vuông góc với (SDC) => AD' vuông góc với SC (3)
(1)(2)(3) => SC vuông góc với mp(AB'C'D'). Như vậy mp(AB'C'D') chính là thiết diện ($\alpha$) cần tìm.
Ta có: $\Delta$SB'A = $\Delta$SD'A (g.c.g) => AB'= AD' (4)
Lại có: $\Delta$SC'B' = $\Delta$SC'D' (c.g.c) => C'B'= C'D' (5)
(4)(5)=> $\Delta$AB'C' = $\Delta$AD'C'
=> 2 đường chéo của tứ giác AB'C'D' vuông góc với nhau
=> $S_{AB'C'D'}$ = 1/2. AC'. B'D'
Có: AC' là đường cao trong $\Delta$SAC vuông tai A => $\frac{1}{AC'^{2}}$= $\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ => AC'= a. $\sqrt{\frac{2}{3}}$
Lại có: AB' là đường cao trong $\Delta$SAB vuông tai A => $\frac{1}{AB'^{2}}$= $\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}$ => AB'= $\frac{a}{\sqrt{2}}$
$\Delta$SB'A vuông tai B' => SB'= $\frac{a}{\sqrt{2}}$
Có: SB=SD, SB'=SD' => $\frac{SB'}{SB}$= $\frac{SD'}{SD}$ => $\Delta$SB'D' đồng dạng với $\Delta$SBD
=> B'D'/BD= SB'/SB= $\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}}$= 1/2 => B'D' = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Như vậy: $S_{AB'C'D'}$ = 1/2. a. $\sqrt{\frac{2}{3}}$. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{a^{2}}{2\sqrt{3}}$

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Giả sử thiết diện là tứ giác $AKHL$ như hình vẽ. Vì $SC$ vuông góc với $(AKHL)$ nên vuông góc với $AH$. Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có $\frac{HS}{HC}=\frac{SA^2}{AC^2}=\frac{1}{2}$ hay $\frac{SH}{SC}=\frac{1}{3}$.
Tình được $SC=a\sqrt{3}$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $SC^2=SD^2+CD^2$ nên $\Delta SCD$ vuông tại $D$. Cũng có $\Delta SHK$ vuông tại $H$ nên $\Delta SCD\sim \Delta SKH$, suy ra $SK=\frac{SH.SC}{SD}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SD}{2}$.
Tương tự ta có $SL=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{SB}{2}$. Từ đó suy ra $KL//BD$ và $KL=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì $AC$ vuông góc với $BD$ mà $AC$ là hình chiếu của $AH$ trên $(ABCD)$ nên $AH$ vuông góc với $BD$, suy ra $AH$ vuông góc với $KL$. Khi đó: $S_{AKHL}=\frac{AH.KL}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$.

lịch sử