Cho em hỏi

Question

Cho tam giác $ABC$ cạnh $a,b,c$. Tìm tập hợp các điểm $M$ trong mỗi trường hợp:
a) $a.\overrightarrow{MA} +b.\overrightarrow{MA}+c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
b) $a.MA^2+b.MB^2+c.MC^2=abc$

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b)
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp.
Ta có các đẳng thức sau:
$a.\overrightarrow {IA} + b.\overrightarrow {IB} + c.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$
$aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc$

Ta có:
$aMA^2+bMB^2+cMC^2=abc$
$\Leftrightarrow a(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+b(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+c(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2=abc$
$\Leftrightarrow (a+b+c)MI^2+2\overrightarrow{MI}.(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC})+aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc$
$\Leftrightarrow MI^2=0\Leftrightarrow M\equiv I$

score 4 · Answer 2

a)

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp.
Dựng hình bình hành $AB_2IC_2$ có $AB_2//CC_1$ và $AC_2//BB_1$, ta được:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {I{B_2}} + \overrightarrow {I{C_2}} (1) \\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{I{B_2}}}{{IB}} = \frac{{{C_1}A}}{{{C_1}B}} = \frac{b}{a}}\\
{\overrightarrow {I{B_2}} \uparrow \downarrow \overrightarrow {IB} }
\end{array}} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {I{B_2}} = - \frac{b}{a}\overrightarrow {IB} \,\,\,\,(2)\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{I{C_2}}}{{IC}} = \frac{{{B_1}A}}{{{B_1}C}} = \frac{c}{a}}\\
{\overrightarrow {I{C_2}} \uparrow \downarrow \overrightarrow {ICB} }
\end{array}} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {I{C_2}} = - \frac{c}{a}\overrightarrow {IC\,} \,\,\,(3)
\end{array}$
Thay $(2), (3)$ vào $(1)$ ta được: $\overrightarrow {IA} = - \frac{b}{a}\overrightarrow {IB} - \frac{c}{a}\overrightarrow {IC} \Leftrightarrow a.\overrightarrow {IA} + b.\overrightarrow {IB} + c.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$
Mà $a.\overrightarrow {MA} + b.\overrightarrow {MB} + c.\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$
Suy ra: $(a+b+c)\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}\Rightarrow M\equiv I$