Quỹ tích

Question

Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$, vẽ đường thẳng $(d)$ quay quanh $O$ cắt 2 cạnh $AD$, $BC$ tại $E$, $F$ ($E$, $F$ không trùng với các đỉnh hình vuông). Từ $E$, $F$ lần lượt vẽ các đường thẳng song song với $DB$, $AC$ và cắt nhau tại $I$.
a) Tìm tập hợp điểm $I$;
b) Từ $I$ vẽ đường vuông góc $EF$ tại $H$. Chứng minh rằng $H$ thuộc 1 đường cố định và $IH$ đi qua 1 điểm cố định.

score 2 · Answer 1

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

a) Giả sử $I'$ là ảnh của $E$ qua phép đối xứng trục $AC$. Dễ thấy $EI'//BD$ suy ra $I\in EI'$.
Vì $F$ là ảnh của $E$ qua phép đối xứng qua $O$ và $AC$ vuông góc với $BD$ tại $O$ nên $I'$ là ảnh của $F$ qua phép đối xứng trục $BD$. Dễ thấy $FI'//AC$ suy ra $I\in FI'$. Ta được $I'\equiv I$.
Do đó tập hợp điểm $I$ khi $EF$ quay xung quanh $O$ là ảnh của $AD$ qua phép đối xứng trục $AC$. Ảnh đó chính là đường thẳng $AB$.

b) Vì $\widehat{IHE}=\widehat{IAE}=90^0$ nên tứ giác $AIHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $IE$. Ta có $\widehat{AHI}=\widehat{AEI}=45^0$.
Tương tự $\widehat{BHI}=45^0$ suy ra $\widehat{AHB}=90^0$ hay $H$ thuộc đường tròn đường kính $AB$. Vì $HI$ là phân giác của $\widehat{AHB}$ nên $HI$ đi qua trung điểm cung $AB$ của đường tròn đường kính $AB$.