nhờ các anh giải giúp em với

Question

1. Tìm dãy STN liên tiếp nhiều số hạng nhất sao cho mỗi số trong dãy là tổng 2 số nguyên tố
2.Tìm Max của biểu thức $P=x^2+xy+y^2$ trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2 điều kiện $| 2x-y | <=3$ và $| x-3y | <=1$
3 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$
Tìm Max của M = $(a+b+c)^3+a(2bc-c)+b(2ac-1)$

Lần sau khi nhập công thức bạn nhớ cho vào trong $$ nhé

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

2.
Đặt $2x-y=a,3y-x=b$, ta có: $x=\frac{3a+b}{5},y=\frac{a+2b}{5},|a|\le3,|b|\le1$
Ta có:
$25P=(3a+b)^2+(3a+b)(a+2b)+(a+2b)^2$
         $=13a^2+17ab+7b^2$
         $\le 13a^2+17|ab|+7b^2$
         $\le 13.3^2+17.3.1+7.1^2=175$
$\Rightarrow P\le7$
Max$P=7\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=3,b=1\\a=-3,b=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2,y=1\\ x=-2,y=-1\end{array} \right.$

score 3 · Answer 2

1.
Dễ thấy tồn tại duy nhất dãy 7 số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn bài toán là:
$4=2+2,5=3+2,6=3+3,7=5+2,8=5+3,9=7+2,10=7+3$
Giả sử tồn tại dãy 8 số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn bài toán.
Suy ra trong dãy có 4 số lẻ liên tiếp: $2k+1,2k+3,2k+5,2k+7.$
Mỗi số lẻ là tổng của $2$ và một số nguyên tố, suy ra:
$2k-1,2k+1,2k+3,2k+5\in\mathscr{P}$
*) Nếu $2k-1=3\Rightarrow 2k+5=9\notin\mathscr{P}$
*) Nếu $2k-1\equiv1$ (mod $3$) $\Rightarrow 2k+1\equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow 2k+1\notin\mathscr{P}$
*) Nếu $2k-1\equiv2$ (mod $3$) $\Rightarrow 2k+3\equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow 2k+3\notin\mathscr{P}$
Vậy không tồn tại 8 số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn bài toán.

Kết luận: Dãy số tự nhiên liên tiếp dài nhất thỏa mãn bài toán là: $4,5,6,7,8,9,10$.