Tìm cực trị

Question

Với $a, b, c$ là ba số thực bất kỳ sao cho
$\frac{1}{a^2+8}+\frac{1}{b^2+8}+\frac{1}{c^2+8}=\frac{1}{3} $
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=a+b+c$

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Ta viết biểu thức điều kiện của bài toán lại như sau

1 a 2 + 8 = (1 6 - 1 b 2 + 8) + (1 6 - 1 c 2 + 8)

Từ đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta được

1 a 2 + 8 = 1 6 (b 2 + 2 b 2 + 8 + c 2 + 2 c 2 + 8) \geq 1 3 ( b 2 + 2 ) ( c 2 + 2 ) b 2 + 8 ) ( c 2 + 8 ) - - - - - - - - - - - - - \sqrt (1)

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có

1 b 2 + 8 \geq 1 3 ( c 2 + 2 ) ( a 2 + 2 ) ( c 2 + 8 ) ( a 2 + 8 ) - - - - - - - - - - - - - \sqrt (2)

1 c 2 + 8 \geq 1 3 ( a 2 + 2 ) ( b 2 + 2 ) ( a 2 + 8 ) ( b 2 + 8 ) - - - - - - - - - - - - - \sqrt (3)

Nhân tương ứng ba bất đẳng thức

(1),(2)

(3)(3lại với nhau ta được

27 \geq (a 2 + 2) (b 2 + 2) (c 2 + 2) .

Mặt khác, theo bất đẳng thức

(1.6.1) thì

(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2.
Nên từ đó suy ra

(a+b+c)2≤9

hay là

- 3 \leq a + b + c \leq 3 (4)

Bằng tính toán trực tiếp ta thấy

P=−3 khi và chỉ khi

(a,b,c)=(−1,−1,−1) và

P=3 khi và chỉ khi

(a,b,c)=(1,1,1).

Việc tìm được các giá trị cụ thể của a,b,c thỏa mãn giả thiết của bài toán đồng thời bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức cho phép ta kết luận Pmin=−3 và Pmax=3.