jup mjh bài này với

Question

Cho a,b,c$\in\left[ {0;2} \right]$, a+b+c=3
cmr:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 11/15/2012 12:05:43 AM

Không mất tính tổng quát, giả sử: $0\le c\le b\le a\le2$.
suy ra $a + b \le 3$.

Trước hết nêu ra một đẳng thức sau, có tên là khai triển Abel cho $3$ số.
$a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2=a_0(b_0-b_1)+(a_0+a_1)(b_1-b_2)+(a_0+a_1+a_2)b_2$
để kiểm tra bạn chỉ cần khai triển vế phải.

BĐT đã cho tương đương với
$VT=(a-2)(a+2)+(b-1)(b+1)+c.c \le 0$
Theo khai triển Abel trên nếu đặt
$a_0=a-2, b_0=a+2, a_1=b-2,b_1=b+1,a_2=c, b_2=c$ thì ta có
$VT=(\underbrace{a-2}_{\le 0})(\underbrace{a-b+1}_{> 0})+(\underbrace{a+b-3}_{\le 0})(\underbrace{b-c+1}_{> 0})+(\underbrace{a+b+c-3}_{= 0})c \le 0$, đpcm.

Vậy: $a^2+b^2+c^2\le5$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị của nó.

Trả lời 15-11-12 12:05 AM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

nhưng thật sử khi đọc vào mình hok hju, vì mjh mới chỉ học lớp 10 thôi, nên mấy cách giải theo cách khác hơn thỳ phải suy nghĩ thêm – thanhnhan97gl 17-11-12 06:41 PM

uh, đúng thế!like – babylionneu 16-11-12 10:17 PM

Mình thấy cách này rất hay và có tính ứng dụng rất lớn. – Trần Nhật Tân 15-11-12 08:59 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 15-11-12 12:07 AM

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Không mất tính tổng quát, giả sử: $0\le a\le b\le c\le2$.
Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l} 0\le a\le1\\1\le c\le2 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2\le a\\(c-1)(c-2)\le0 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2\le a\\c^2\le3c-2 \end{array} \right.$
Nếu $0\le b\le 1\Rightarrow b^2\le b$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+3c-2=1+2c\le5$
Nếu $1\le b\le 2\Rightarrow b^2\le3b-2$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+3b-2+3c-2=5-2a\le5$
Vậy: $a^2+b^2+c^2\le5$
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: $(a,b,c)=(0,1,2)$