giới hạn nhé

Question

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosax.cosbx.coscx.cosdx}{x^{2}}$

$(a,b,c,d \neq 0)$

Bạn xem bài của mình chính xác chưa thì ấn xác nhận nhé. Thanks!

score 4 · Answer 1

Ta có:

$\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos ax}{x^2}}=\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin ^2\frac{ax}{2}}{x^2}}=\frac{a^2}{2}$

$\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos ax\cos bx}{x^2}}=\lim_{x\to 0}{\left[ \frac{1-\cos ax}{x^2}+\frac{\cos ax(1-\cos bx)}{x^2}\right]}=\frac{a^2+b^2}{2}$ .

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos ax\cos bx\cos cx\cos dx}{x^2}=\lim_{x\to 0}{\left[ \frac{1-\cos ax\cos bx}{x^2}+\frac{\cos ax\cos bx(1-\cos cx\cos dx)}{x^2}\right]}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$ .

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 11/19/2012 9:53:09 PM

Bài toán tổng quát
Tìm

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos a_1x\cos a_2 x...cosa_nx}{x^{2}}$

$(a_1, a_2,\cdots, a_n \neq 0)$
Trước hết đưa ra đẳng thức sau

$1- A_1A_2\cdots A_n=(1-A_1)+A_1(1-A_2)+A_1A_2(1-A_3)+\cdots +A_1A_2\cdots A_{n-1}(1-A_n)$
Dễ dàng để kiểm tra đẳng thức này luôn đúng.
Bây giờ đặt

$A_i =\cos a_i x, i=1,2,\cdots,n$ và chú ý rằng

$\begin{cases}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-A_1}{x^{2}} =\frac{1-\cos a_1 x}{x^{2}} =\frac{a_1^2}{2}\\ \lim_{x\rightarrow 0}A_i=1 , i=1,2,\cdots,n\end{cases}$
Vậy

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos a_1x\cos a_2 x...cosa_nx}{x^{2}}=\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{2}$