hình học

Question

.Cho hình chóp $S .ABC$. Đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a \sqrt{2}, SA = 2a$ vuông góc với đáy. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

score 4 · Answer 1

Xác lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ với:
$O\equiv B$
Chiều dương $Ox$ hướng theo $\overrightarrow{BS}$
Chiều dương $Oy$ hướng theo $\overrightarrow{BA}$
Chiều dương $Oz$ hướng theo $\overrightarrow{BC}$
Ta có: $B(0,0,0),S(2a,0,0),A(0,\sqrt2a,0),C(0,0,\sqrt2a)$.
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} OA^2=OB^2\\OB^2=OC^2\\OC^2=OS^2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2+(y-\sqrt2a)^2+z^2=x^2+y^2+z^2\\ x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(z-\sqrt2a)^2\\x^2+y^2+(z-\sqrt2a)^2=(x-2a)^2+y^2+z^2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=a\\ y=\frac{a\sqrt2}{2}\\z=\frac{a\sqrt2}{2} \end{array} \right.$
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là: $R=OB=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a\sqrt2$
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\pi a^3\sqrt2}{3}$

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Goi $M$ la trung diem cua $AC$
De thay $M$ la tam duong tron ngoai tiep tam gjac $ABC$ do $ABC$ vuong can tai B
Ke d qua $M$ va song song voi $SA\rightarrow d$ la truc duong tron ngoai tiep tam giac $ABC$
GOI N la trung diem cua $SA$.Qua N ke duong trung truc cua $SA$ va cat d tai$H$
De thay NH=$\frac{1}{2}$ AC=a, HM=$\frac{1}{2}$SA=a
Suy ra R=HA=$\sqrt{HM^2+AM^2 }=a\sqrt{2}$
Nen V=$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi$ $a^3$

lịch sử