Bài toán về Dãy số - Chứng minh quy nạp - Cấp số cộng.

Question

1. Cho $(U_n)$ được xác định: $\left\{ \begin{array}{l}U_1=1\\U_{n+1}=U_n+\left(n+1\right)2^n \end{array} \right.$
       a) Chứng minh: $(U_n)$ là dãy tăng
       b) Chứng minh: $U_n=1+\left(n-1\right)2^n$

2. Cho $(U_n)$ biết $U_n=\sin\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}$
      a) Chứng minh: $U_n=U{n+3}$
      b) Tính: $S=U_1+U_2+...+U_{15}$

3. Cho $(U_n)$ xác định: $\left\{ \begin{array}{l} U_1=0\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n+4 \end{array} \right.$
     a) Chứng minh: $U_n<8$
     b) Chứng minh: $(U_n)$ là dãy tăng.

Dạ là $U_n=U_{n 3}$ [U n = U của (n 3)] chứ không phải $U_n=U_n 3$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 12/1/2012 11:19:24 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Bài 2.
a) Ta có
$U_{n+3}=\sin \left ((4n+11)\dfrac{\pi}{6} \right )=\sin \left ((4n-1)\dfrac{\pi}{6} +2\pi\right )=\sin \left ((4n-1)\dfrac{\pi}{6} \right )=u_n \forall n \ge 1.$
b) Ta thấy rằng nếu
$n=3m$ thì $u_n=\sin \left ((12m-1)\dfrac{\pi}{6} \right )=\sin \left (2\pi-\dfrac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{2}$
$n=3m+1$ thì $u_n=\sin \left ((12m+3)\dfrac{\pi}{6} \right )=1$
$n=3m+2$ thì $u_n=\sin \left ((12m+7)\dfrac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{2}$
Như vậy
$U_1+\ldots+U_{15}=5U_1+5U_2+5U_3=5(U_1+U_2+U_3)=0$

Trả lời 01-12-12 11:19 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Em chưa hiểu cái U của (n cộng 3) ạ – Xusint 01-12-12 11:28 PM

Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 01-12-12 11:19 PM

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 12/1/2012 10:21:53 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Câu 3.
a) Ta chứng minh bằng quy nạp.
Với $n=1$ hiển nhiên đúng.
Giả sử đúng với $n=k$ tức là $U_k <8.$
Theo công thức truy hồi ta có
$U_{k+1}=\frac{1}{2}U_k+4 <\frac{1}{2}.8+4=8 $
Tức là nó cũng đúng với $n=k+1$, đpcm.
b) Theo câu a)
$U_{n+1}-U_n =4-\frac{1}{2}U_n >0$ suy ra $U_n$ là dãy tăng.

lịch sử

Sửa 01-12-12 10:21 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trả lời 01-12-12 10:17 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 01-12-12 10:17 PM

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 12/1/2012 10:13:54 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Bài 1.
a) hiển nhiên thấy $U_{n+1}-U_n =(n+1)2^n >0 \forall n.$
suy ra $U_n$ là dãy tăng thực sự.
b) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $U_n=1+(n-1)2^n.$
Với $n=1$ hiển nhiên thấy đúng.
Giả sử điều trên đúng với $n=k$ tức là $U_k=1+(k-1)2^k.$
Theo công thức ta có
$U_{k+1}=U_k +(k+1)2^k=1+(k-1)2^k+(k+1)2^k=1+2k.2^k=1+(k+1-1)2^{k+1}$.
Tức là nó cũng đúng với $n=k+1$, đpcm.

Trả lời 01-12-12 10:13 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn nút tam giác màu xanh bên cạnh đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 01-12-12 10:14 PM