tam giác

Question

Cho tam giác $ABC$. Lấy $A_1$ thuộc $BC; B_1$ thuộc $AC; C_1$ thuộc $AB$ sao cho $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{0} $
a) CMR: $\frac{BA_1}{BC}=\frac{CB_1}{CA}=\frac{AC_1}{AB} $
b) Xác định $A_1, B_1, C_1$ để $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng qui.

Bạn có thể tham khảo video hướng dẫn nhập công thức Toán ở phía trên nhé. thank
Bạn chú ý trong cách nhập công thức nhé. Trước khi nhập công thức bạn phải nhập trước 2 kí tự đó là $ $, sau đó nhập công thức vào giữa hai kí tự $ $ đó. Như vậy công thức mới hiển thị đúng dc

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

b) Từ câu a suy ra $\frac{A_1B}{A_1C}=\frac{B_1C}{B_1A}=\frac{C_1A}{C_1B}$.
Theo định lý Ceva, $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi $\frac{A_1B}{A_1C}.\frac{B_1C}{B_1A}.\frac{C_1A}{C_1B}=1$.
Từ đó suy ra $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$.

score 1 · Answer 2

a) Vì $A_1\in BC$ nên $\overrightarrow{AA_1}=\frac{A_1B.\overrightarrow{AB}+A_1C.\overrightarrow{AC}}{BC}$.
Tương tự: $\overrightarrow{BB_1}=\frac{B_1C.\overrightarrow{BC}+B_1A.\overrightarrow{BA}}{CA},\overrightarrow{CC_1}=\frac{C_1A.\overrightarrow{CA}+C_1B.\overrightarrow{CB}}{AB}$.
Từ đó suy ra: $\frac{A_1B.\overrightarrow{AB}+A_1C.\overrightarrow{AC}}{BC}+\frac{B_1C.\overrightarrow{BC}+B_1A.\overrightarrow{BA}}{CA}+\frac{C_1A.\overrightarrow{CA}+C_1B.\overrightarrow{CB}}{AB}=\overrightarrow{0}$.
$\Leftrightarrow \left(\frac{A_1B}{BC}-\frac{B_1A}{CA}\right)\overrightarrow{AB}+\left(\frac{B_1C}{CA}-\frac{C_1B}{AB}\right)\overrightarrow{BC}+\left(\frac{C_1A}{AB}-\frac{A_1C}{BC}\right)\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}.$
Thay $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ ta được:
$\left(1-\frac{B_1A}{CA}-\frac{C_1A}{AB}\right)\overrightarrow{AB}+\left(\frac{B_1C}{CA}+\frac{A_1C}{BC}-1\right)\overrightarrow{BC}=
\overrightarrow{0}.$
VÌ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ độc lập tuyến tính nên $\frac{B_1A}{CA}+\frac{C_1A}{AB}=\frac{B_1C}{CA}+\frac{A_1C}{BC}=1$.
Từ đó suy ra $\frac{A_1B}{BC}=\frac{B_1C}{CA}=\frac{C_1A}{AB}$.