tích phân đặc biệt

Question

$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3} \sqrt{x^{2} -1}dx $

$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3} \sqrt{x^{2} +1 }dx $

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 12/15/2012 8:47:00 PM

b)
$\textbf{Cách 2}$
Đặt $x= \tan t\Rightarrow dx= \dfrac{1}{\cos ^2t}dt$
và $x \in \left[ {\sqrt 2, 3} \right]\Rightarrow t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$
và $ \sqrt{x^{2} +1}= \sqrt{\tan^2t +1}=\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2 t}}=\dfrac{1}{\cos t}$ do $ t \in \left[ {\arctan\sqrt 2, \arctan3}\right]$.
Vậy
$I= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{\cos ^3t}dt= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{\cos ^4t}d(\sin t)= \int\limits_{\arctan\sqrt 2}^{ \arctan3}\dfrac{1}{(1-\sin^2t)^2}d(\sin t)$
Đến đây không khó để giải tiếp.

Trả lời 15-12-12 08:47 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 12/15/2012 8:38:11 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b)
$\textbf{Cách 1}$
Ta có
$ \sqrt{x^{2} +1}=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} +1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} +1}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x^{2} +1}}$
$=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} +1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} +1}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1}}}{x+\sqrt{x^{2} +1}}$
$=\left (\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} +1} \right )'+\left ( \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right| \right )'$
vậy
$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3}\sqrt{x^{2} +1}dx=\left[ {\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} +1}+ \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} +1}} \right|} \right]_{\sqrt{2}}^{3}$
Đến đây bạn tự thay số nốt vào nhé.

Trả lời 15-12-12 08:38 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 15-12-12 08:39 PM

Trần Nhật Tân · Answer 3 · 12/15/2012 5:41:21 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a)
$\textbf{Cách 1}$
Ta có
$ \sqrt{x^{2} -1}=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} -1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} -1}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x^{2} -1}}$
$=\dfrac{1}{2} \sqrt{x^{2} -1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{x^{2} -1}}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} -1}}}{x+\sqrt{x^{2} -1}}$
$=\left (\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} -1} \right )'-\left ( \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} -1}} \right| \right )'$
vậy
$ \int\limits_{\sqrt{2}}^{3}\sqrt{x^{2} -1}dx=\left[ {\dfrac{1}{2} x\sqrt{x^{2} -1}- \dfrac{1}{2}\ln\left| {x+\sqrt{x^{2} -1}} \right|} \right]_{\sqrt{2}}^{3}$
Đến đây bạn tự thay số nốt vào nhé.

Trả lời 15-12-12 05:41 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 15-12-12 08:38 PM

Trần Nhật Tân · Answer 4 · 12/15/2012 5:33:48 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a)
$\textbf{Cách 2}$
Đặt $x= \dfrac{1}{\cos t}\Rightarrow dx= \dfrac{\sin t}{\cos ^2t}dt$
và $x \in \left[ {\sqrt 2, 3} \right]\Rightarrow t \in \left[ {\frac{\pi}{4}, \arccos\frac{1}{3}} \right]$
và $ \sqrt{x^{2} -1}= \sqrt{\dfrac{1}{\cos^2 t} -1}=\sqrt{\tan^2 t}=\tan t$ do $t \in \left[ {\frac{\pi}{4}, \arccos\frac{1}{3}} \right]$.
Vậy
$I= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{ \arccos\frac{1}{3}} \tan t\dfrac{\sin t}{\cos ^2t}dt= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{ \arccos\frac{1}{3}}\dfrac{\sin^2 t}{\cos ^3t}dt= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{ \arccos\frac{1}{3}}\left (\dfrac{1}{\cos ^3t}-\dfrac{1}{\cos t} \right )dt$
Đến đây không khó để giải tiếp.

Trả lời 15-12-12 05:33 PM

Trần Nhật Tân
1

856K 2M

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 15-12-12 08:38 PM