câu hỏi toán học

Question

cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a , AA'= 2a , A'C = 3a . gọi M là trung điểm của A'C' I là giao điểm của AM và A'C . tính thể tích IAA'B

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 1 · 1/11/2013 10:26:11 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Xét $\Delta$A'AC vuông tại A => $AC^{2}= (3a)^{2}- (2a)^{2}= 5a^{2}$
Xét $\Delta$ABC vuông tại B => $BC^{2}= 5a^{2}- a^{2}= 4a^{2}$ => BC= 2a
Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ sao cho B trùng gốc tọa độ, BA trùng Ox, BC trùng Oy, BB' trùng Oz
Khi đó tọa độ các điểm là: B(0,0,0), A'(a, 0, 2a), C(0, 2a, 0), A(a, 0,0), M(a/2, a, 2a)
=> $\overrightarrow{AM}$ (-a/2, a, 2a)= (-1,2,4) => Phương trình AM $\begin{cases}x= a-t_{1} \\ y=2t_{1}\\z=4t_{1} \end{cases}$
$\overrightarrow{A'C}$ (-a, 2a, -2a)= (1,-2,2) => Phương trình A'C $\begin{cases}x= t_{2} \\ y= 2a-2t_{2}\\z=2t_{2} \end{cases}$
Có: I= AM$\cap $A'C => Tọa độ I thỏa mãn : $\begin{cases}a-t_{1}= t_{2} \\ 2t_{1}=2a-2t_{2}\\4t_{1}=2t_{2} \end{cases}$ => $\begin{cases} t_{1}= a/3\\ t_{2}= 2a/3 \end{cases}$
=> I(2a/3, 2a/3, 4a/3)
Lại có phương trình mp(A'AB) là: y=0
=> d(I, (A'AB)) = $\frac{\left| {2a/3} \right|}{\sqrt{1}}$= 2a/3
Mà: $S_{A'AB}$ = 1/2. AA'. AB= $a^{2}$
=> $V_{IAA'B}$= 1/3. d(I, (A'AB)) . $S_{A'AB}$ = $\frac{2a^{2}}{9}$

lịch sử

Sửa 11-01-13 10:26 PM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

Trả lời 11-01-13 10:22 PM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

Đề bài bạn đưa ra đã có những lời giải rất tốt vì trình bày được theo nhiều cách khác nhau, đây là giải theo phương pháp tọa độ lớp 12, lời giải của bạn Khang là theo cách tính trực tiếp lớp 11. – GreenmjlkTea FeelingTea 11-01-13 10:29 PM

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Hạ $IH\perp AC (H\in AC)\Rightarrow IH\perp(ABC)$ hay $IH$ là đường cao của tứ diện $IABC$.
Ta có:
$\frac{A'I}{IC}=\frac{A'M}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{CI}{CA'}=\frac{2}{3};\frac{A'I}{A'C}=\frac{1}{3}$
$IH//AA'\Rightarrow \frac{IH}{AA'}=\frac{CI}{CA'}=\frac{2}{3}\Rightarrow IH=\frac{2}{3}AA'=\frac{4a}{3}$
Lại có:
$AC=\sqrt{A'C^2-A'A^2}=a\sqrt5;BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2a$
Suy ra:
$S(ABC)=\frac{1}{2}AB.BC=a^2$
$V(IABC)=\frac{1}{3}IH.S(ABC)=\frac{4a^3}{9}$
$V(A'ABC)=\frac{1}{3}AA'.S(ABC)=\frac{2a^3}{3}$
$V(IAA'B)=V(A'ABC)-V(IABC)=\frac{2a^3}{9}$