Hinh 9

Question

Cho đường tròn tâm K đường kính AC. M là điểm di động trên đường tròn. G là trọng tâm của tam giác AMC. Định vị trí M để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AGC max

score 1 · Answer 1

Hì, trước hết ta có công thức

$r=\frac{S}{P}$
Dễ thấy

$S_{ACG}=S_{AMC}/3$
Đặt

$AM=a, CM=b$ , N là trung điểm MC, P là trung điểm MA
Dễ thấy tam giác AMC vuông tại M Đặt AC=2R
Gọi r là bán kính đường tòn nội tiếp tam giác AGC.
Ta có

$r=\frac{2S_{ACG}}{AG+CG+AC}=\frac{\frac{2}{3}S_{AMC}}{2/3AN+2/3CP+AC}=\frac{2S_{AMC}}{2AN+2CP+3AC}$

$=\frac{ab}{2\sqrt{a^2+\frac{b^2}{4}}+2\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}+3\sqrt{a^2+b^2}}$
Áp dụng bdt cô si:

$2\sqrt{a^2+\frac{b^2}{4}}+2\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}+3\sqrt{a^2+b^2}$

$\geq 2\sqrt{\frac{4a^2}{4}+\frac{b^2}{4}}+2\sqrt{\frac{4b^2}{4}+\frac{a^2}{4}}+2\sqrt{2ab}\geq \sqrt{5}(a^4b)^{1/5}+\sqrt{5}(b^4a)^{1/5}+2\sqrt{2ab}$

$\geq 2\sqrt{5ab}+2\sqrt{2ab}=\sqrt{ab}(2\sqrt{5}+2\sqrt{2})$
Từ đây suy ra

$r\leq \frac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}\leq\frac{\sqrt{(a^2+b^2)/2}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2R^2}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}R}{2\sqrt{5}+2\sqrt{2}}$
Ta đã giải quyết xong bài toán